一道数学一道线性代数证明题求解
设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明(1)η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b的解(2)η0,η1,η...
设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,ξ1 ,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明(1)η1=η0+ξ1 ,η2=η0+ξ2均是Ax=b的解(2)η0,η1,η2线性无关
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(1) 直接验证即可
Aη1=A(η0+ξ1) = Aη0+Aξ1 = b + 0 = b
(2) 设 k1η0+k2η1+k3η2=0
则 (k1+k2+k3)η0+k2ξ1+k3ξ2 = 0
等式两边左乘A得 (k1+k2+k3)b + 0 + 0 = 0
由b≠0得 k1+k2+k3=0
所以 k2ξ1+k3ξ2 = 0.
再由ξ1，ξ2线性无关得 k2=k3=0.
所以 k1=k2=k3=0
所以 η0、η1、η2线性无关
Aη1=A(η0+ξ1) = Aη0+Aξ1 = b + 0 = b
(2) 设 k1η0+k2η1+k3η2=0
则 (k1+k2+k3)η0+k2ξ1+k3ξ2 = 0
等式两边左乘A得 (k1+k2+k3)b + 0 + 0 = 0
由b≠0得 k1+k2+k3=0
所以 k2ξ1+k3ξ2 = 0.
再由ξ1，ξ2线性无关得 k2=k3=0.
所以 k1=k2=k3=0
所以 η0、η1、η2线性无关
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