Question

概率分布函数问题~急急急~恳请速速帮忙解决

1、怎么证明如果随机变量X服从参数为λ的指数分布,F(x)为其分布函数,则随机变量Y=F(x)在区间[0,1]上服从均匀分布？
2、怎么证明如果随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数（或是连续函数）,则随机变量Y=F(x)在区间[0,1]上服从均匀分布。
我根据书上的方法就是证不出来~哪位大神指点一下，谢谢 了

Answer 1

第一小题参照第二小题的方法：
证明如下：
Fy(y)=P{Y<=y}=P{F(x)<=y}【因为单调，所以反函数和函数同增减性】
=P{X<=F^-1(y)}=F(F^-1(y))=y
这样证明就可以说：
Fy(y)=0 (y<0)
=y (0<=y<1)
=1 (y>=1)

追问

=P{X<=F^-1(y)}=F(F^-1(y))=y这一步为啥最后等于y？
这两道题证明过程这不是一样吗？

追答

F(F^-1(y))=y 这个不理解是么？ F^-1(y)是F(y)的反函数。。所以该式成立。
要理解什么是反函数，
设f(x)反函数为f^-1(x)，如果 点(m,n)在原函数上，则点(n,m)在反函数上（也就是说如果f(m)=n,则=> f^-1(n)=m）;这个能理解吧？反过来：如果 点(n,m)在反函数上，则 点(m,n)在原函数上，也成，因为两者互为反函数。

追问

我知道反函数，就是y=f(X),如果存在反函数，那么它的反函数为x=f(y),记作y=f^-1(x),

我不明白的就是F(F^-1(y))应该等于x而不是y~~~

我实在太笨了~爱扣细节~多多请教~谢谢了~麻烦你再解释一下~我数学底子差，今年准备考研，实在是急啊~

我知道反函数，就是y=f(X),如果存在反函数，那么它的反函数为x=f(y),记作y=f^-1(x),

我不明白的就是F(F^-1(y))应该等于x而不是y~~~

我实在太笨了~爱扣细节~多多请教~谢谢了~麻烦你再解释一下~我数学底子差，今年准备考研，实在是急啊~

追答

“我不明白的就是F(F^-1(y))应该等于x而不是y”，其实很好理解，可能你思维定式了，

通常是 F(F^-1(x))等于x，这没错，那么同样道理：F(F^-1(y))就会等于y，只是字母换了。
设f(x)反函数为f^-1(x)，如果 点(m,n)在原函数上，则点(n,m)在反函数上（也就是说如果f(m)=n,则=> f^-1(n)=m）;这个能理解吧？反过来：如果 点(n,m)在反函数上，则 点(m,n)在原函数上，也成，因为两者互为反函数。

这句理解了没？ 为避免混淆，用t作自变量，由于F(t)的反函数F^-1(t),
设 F(x)=y,则=>F^-1(y)=x，（这个能理解吧，∵反函数）……………………①
那么依照①，有 F[F^-1(y)]=F[x]=y,这就得出结果了， （同理 F[F^-1(k)]=k，F[F^-1(s)]=s等等）
考研加油了！