Question

高数偏导部分

想请问您：偏导数存在是否能推出任意方向方向导数存在？为什么？
任意方向方向导数都存在能否说明在该点连续？为什么。
谢谢！
重述一下问题
1 函数在某点的偏导数存在 则能否说明该点的任意方向方向导数存在？
2 函数在某点任意方向的方向导数都存在 则能否说明函数在该点连续？

Answer 1

1、不能。偏导数存在连连续性都不能保证的啊。。。比如函数f(x,y)=1 (xy≠0); 0 (xy=0)，则af/ax=af/ay=0，但是其他方向上导数不存在。
2、不能。比如函数f(x,y)=xy^2/(x^2+y^4) (x^2+y^2≠0); 0 (x=y=0)，那么f(x,y)在点(0,0)沿着任意非零向量(h1,h2)上的导数为lim(c→0)[(ch1)(ch2)^2/((ch1)^2+(ch2)^4)]/c=lim(c→0)h1h2^2/(h1^2+c^2h2^4)=h2^2/h1。但是f(x,y)在(0,0)不连续，沿着x=y^2接近(0,0)时极限为1/2≠f(0,0)。关键是任意方向导数存在不等于可导。

追问

请问您能具体描述一下各个方向的方向导数都存在但不连续的函数的平面图像吗？

追答

其实画出来也不好看。。。还是自己动手算一下证明一下吧。。。

Answer 2

在某点可导，表示任意偏导存在且有界

看你的第一问偏导数存在是什么意思了，如果是任意的偏导数都存在，那么由方向导数定义，必有任意方向方向导数存在。

第二问
任意方向导数存在则必连续，记住可导->连续，反之不亦然。

追问

第一问指的是：在某点偏导存在能否说明该点上任意方向方向导数存在。

在多元函数中 希望能用可微而非可导解释

追答

第一题，方向导数=梯度点乘方向向量
如果偏导存在，那么梯度存在，方向向量是有界量，那么必然方向导数存在。

第二题同意david的观点
方向导数只是偏导存在的变化形式，不能保证连续
连续还是需要用定义
lim x->x0,y->y0 f(x,y)=f(x0,y0)来判断

Answer 3

偏导数存在不能推出任意方向导数存在，因为偏导数就是沿x轴和y轴方向的导数，可以看做是特殊的方向导数

追问

但是方向导数是偏导在该方向的投影啊?

追答

的确，方向导数的值=grad与方向向量的点乘，但是这是建立在已知方向导数存在的基础上的

追问

您能具体地解释一下什么时候偏导数存在而方向导数不存在吗？那样的曲面大概是什么样的？