Question

高中数学选修2-2，请尝试用定积分定义计算∫[1,2] 1/x dx（P51 §1.6微积分基本定理的引入题）

如图

Answer 1

画出y=1/x的图像，求该积分即在1到2区间，该函数图像与x轴组成的曲边梯形的面积。在1到2区间将x轴分成n等分，让n趋向于无穷大，采用无限逼近，面积微元为ds=1/n*f(xi),把所有的面积微元加起来，对n取极限，即可得到结果为ln2.文字说明比较费劲，望采纳，若不懂，可追问，必定详细解答。

追问

谢谢！
那我做到这一步：
∫[1,2] （1/x）dx=lim(n→∞)∑xi△x=∑[1/1+（1/n）]△x(i=1,2,3,...,n)
又∵∑[1/1+（1/n）]·1/n=∑1/n+1=(1/2)+(1/3)+(1/4)+...+(1/n+1)
(是二分之一+三分之一+四分之一+N+1分之一“调和级数”)
应该怎样做下去？即已知an=1/n+1,求Sn。
谢谢！

Answer 2

用牛顿莱布尼兹公式。
∫[1,2] 1/x dx=ln2-ln1=ln2
导数和定积分的联系就是牛顿莱布尼兹公式，通过积分函数可证明其成立。

追问

谢谢！

追答

那段话说不能直接用定义计算，但又在题目里要求用定义计算，其实是这样的：
F'(x)=f(x)*dx，即f(x)=△y/△x，于是△y=f(x)△x，这个△y是个增量，相当于函数图像中的函数值乘以△x后所得的面积，套入到题目的话就是原函数从1到1+△x的增量，这样这个增量就不再是F(1)的值，而是F（1）到F（1+△x）的增量。
这样把区间【1，2】分成无限小份，再按定义取得的面积就等于F(1)到F(2)的增量。
于是∫[1,2] 1/x dx=F(2)-F(1)=ln2-ln1=ln2

这也是牛顿莱布尼兹公式能把导数和定积分联系起来的所在。

祝愉快

Answer 3

你也太懒了

追问

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