Question

线性代数中如何证明(A^-1)^-1=A，(AT)^-1=(A^-1)T，(A*)^-1=(A^-

1)*，(A*)T=(AT)*

Answer 1

1. 因为AA^{-1}=A^{-1}A=E, 所以(A^{-1})^{-1}=A;
2. 因为A^{T}(A^{-1})^{T}=(A^{-1})^{T}A^{T}=(AA^{-1})^{T}=E^{T}=E, 所以(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T};
3. 因为A*=|A|A^{-1}, 所以(A*)^{-1}=(|A|A^{-1})^{-1}=|A|^{-1}(A^{-1})^{-1}=A/|A|;
(A^{-1})*=|A^{-1}|(A^{-1})^{-1}=A/|A|,
所以(A*)^{-1}=(A^{-1})* ;
4. 因为A*=|A|A^{-1}, 所以
(A*)^{T}=(|A|A^{-1})^{T}=|A|(A^{-1})^{T}=|A|(A^{T})^{-1}=|A^T|(A^{T})^{-1}= (A^{T})*
所以(A*)^{T}=(A^{T})* .

Answer 2

　　（1）因
　　　　[(A^(-1)][(A^(-1)]^(-1) = {[(A^(-1)]^(-1)}[(A^(-1)] = A，
故(A^(-1)]^(-1) = A。
　　（2）不懂你的 T 是啥矩阵？

　　（3）(A*)^(-1) = [|A|A^(-1)]^(-1)
　　　 　= [|A|^(-1)]{[A^(-1)]*}/|A^(-1)|
　　 　　= [A^(-1)]*。
　　（4）不懂你的 T 是啥矩阵？

追问

T是转秩

追答

　　知道了。
　　（2）因
　　　　{[A^(-1)]T}(AT) = {A[A^(-1)]}T = ET = E，
所以
　　　　[A^(-1)]T AT = ( AT)^(-1)。
　　（4）因为A*=|A|A^(-1)，
所以
　　　 (A*)T = [|A|A^(-1)]T = |A|[A^(-1)]T
= |AT|(AT)^(-1) = (AT)*。