Question

已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时f(x)=a^x-1。其中a>0且a≠1.求f(2)+f(-2)

要过程
求f(x)的解析式

Answer 1

解：
∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(-x)=-f(x),
∴f(2)+f(-2)
=f(2)-f(2)
=0，
如果f(x)=(a^x)-1，x>0，则
当x<0时，得
f(x)
=-f(-x)
=-[a^(-x)]+1
=-[1/(a^x)]+1，
联合以上两式即可。
如果f(x)=a^(x-1)，则
当x<0时，有
f(x)
=-f(-x)
=-a^(-x-1)
=-1/a^(x+1)，
联合以上两式即可。
这是分段函数，因为是奇函数，又在R上有定义，所以f(0)=0，即在以上两种讨论中都加上x=0时f(x)=0就完整了。
但是由于没有给确定数值，所以无法确定底数a的值。
谢谢！

Answer 2

f(x)是定义在R上的奇函数
所以f(-x)=-f(x)
所以f(-2)=-f(2)
所以f(2)+f(-2)=f(2)-f(2)=0

Answer 3

解：
∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(-x)=-f(x),
∴f(2)+f(-2)
=f(2)-f(2)
=0，
如果f(x)=(a^x)-1，x>0，则
当x<0时，得
f(x)
=-f(-x)
=-[a^(-x)]+1
=-[1/(a^x)]+1，
联合以上两式即可。
如果f(x)=a^(x-1)，则
当x<0时，有
f(x)
=-f(-x)
=-a^(-x-1)
=-1/a^(x+1)，
联合以上两式即可。
这是分段函数，因为是奇函数，又在R上有定义，所以f(0)=0，即在以上两种讨论中都加上x=0时f(x)=0就完整了。
但是由于没有给确定数值，所以无法确定底数a的值。
谢谢！

Answer 4

因为函数是奇函数，所以对任意实数x，f(-x)=-f(x)。
1）当
x<0
时，-x>0，因此，f(x)=-f(-x)=-[a^(-x)-1]=1-a^(-x)，
所以
f(x)=｛a^x-1
(x>=0)；
1-a^(-x)
(x<0)
（这是分段函数，分两段）。
2）因为
a>1
，所以
f(x)
在r上为增函数。
令
a^x-1=4，则
a^x=5，所以
x=loga(5)
，
令
1-a^(-x)=-1，则
a^(-x)=2，所以
x=-loga(2)，
因此，不等式
-1
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