Question

求关于热力学方面的问题

1、根据水在自然冷却下的温度—时间图象，知道水在不同温度下散热的快慢，即不同温度下单位时间内热水向空气散发热量Q的值。怎么求出Q？是根据Q=CM△T吗？ 2、还有，用一定的火力加热水，可做出水的温度—时间图象，根据图像计算出在不同温度下单位时间内水的内能增加量△U的值。“燃气灶烧水时，同一时间内水的内能增加量△U和水向空气中散失的热量Q之和，就是这一时间内水从高温燃气中所吸收的热量。”这个怎么计算呢？比如烧开水用5分钟把水从15度升到100度，在这个时间内散热也是从15到100度之间，可根据第一条的图像计算好像不对呀
3、燃气灶烧水时，同一时间内水的内能增加量△U和水向空气中散失的热量Q1之和，就是这一时间内水从高温燃气中所吸收的热量。知道不同温度下单位时间中Q和（△U+Q）的具体数值，就能据此判断在不同温度下Q对效率究竟有多大的影响。这个是怎么个影响呢？
求高手解答！！

Answer 1

1. 大意就是你那样子的啦。不过你要求的是“不同温度下单位时间内……”，所以应该是求δQ/dt，也就是CMdT/dt，dT/dt就是T-t曲线的斜率了，计算出来的单位是J/s。
   

2. 此处，水的内能增量ΔU = CMΔT，ΔT就是85℃。而向空气散热的热量Q可以近似用水的自然冷却曲线来模拟，也就是Q = ∫(δQ/dt)dt。而函数(δQ/dt)是“不同温度下”的函数，也就是自变量是T，然而这里要求的积分是对时间t的积分，没办法求，所以只能假设一个烧水时候T和t的函数关系。假设水温随着时间增加，匀速上升，也就是dT/dt是个常数k，是85℃/5 min，那么Q = ∫(δQ/dt)dt = ∫(δQ/dt)(1/k)dT。刚才你已经算出了每一个温度点T的δQ/dt值，现在就用曲线做出δQ/dt - T曲线，然后看从15℃到100摄氏度的积分面积是多少，记为A，则Q = A/k。所以从炉子吸收的总热量就是Q吸 = CMΔT + A/k。

3. 不用计算也能知道，温度越高，Q占到的(ΔU + Q)的比重肯定越大，毕竟温度越高，散热越快。为了计算这一个效率，就需要求η = Q/(ΔU + Q)。η = (Q/dT)/[(ΔU + Q)/dT]，然后代入第2问得到的公式，有：η = [(1/k)(δQ/dt)]/[CM + (1/k)(δQ/dt)] = 1/{[kCM/(δQ/dt)]+1}。最后这个表达式里边，k、C、M都是常数，δQ/dt是第一问的结论。
   

追问

水的加热曲线是线性的，斜率是个常数。您提到的“Q = ∫(δQ/dt)dt。而函数(δQ/dt)是“不同温度下”的函数，也就是自变量是T，然而这里要求的积分是对时间t的积分，没办法求，所以只能假设一个烧水时候T和t的函数关系。”为什么求散热Q要用加热的函数来表达呢，我有些不明白。
不知道您能方便留下QQ吗？想就这个问题好好向您请教一下。

追答

不好意思，一直没看百度知道，刚看到你的追问。我明早再细看一下再回复你吧。

追问

我给您私信了，请您仔细看看，谢谢您了！

追答

我平时都不用QQ的，密码早忘了……

水加热的T-t是线性的是吧？太好了，看来之前做的假设还不算太离谱。
现在先回答你的追问吧。这里难求的是水的散热量Q。本来Q可以用热传导方程算的。但是根据题意，这里是想用实验经验值方法算，所以头一问里才计算了散热实验参数。所以，这里，Q = ∫δQ。此处的δQ可以认为是每次散发出的一小份热量。问题δQ这种意义不清楚的东西没法算。结果发现上一问刚好算过δQ/dt的值，所以强行改写Q的计算式，乘以一个dt，除以一个dt，变成Q = ∫(δQ/dt)dt。我们把δQ/dt看作一个函数F，F的含义是某温度点（即自变量）单位时间散热量。所以F是T的函数，F = F(T)，就是Q = ∫F(T)dt。但是这个积分是对t积分，而F（也就是δQ/dt）是T的函数，所以必须把t换成T。那么由于水加热的T-t曲线是线性曲线，也就是我昨天说的dT/dt = k，所以Q计算式可以改写成Q = ∫F(T)dT/k = (1/k)∫F(T)dT，那么这个积分就可积了。
但是F（也就是δQ/dt）对T的函数没有解析表达式，然而，上一问每一个T温度点你都求出了δQ/dt值，所以可以做一个F - T曲线，那么∫F(T)dT积分结果就是曲线围成的面积了。
要是有问题追问或者私信都可以。

你私信里边的最后一问，改变火力之后，水加热的T-t曲线就发生改变了，也就是k发生改变。（当然，也可能T-t曲线变得不是线性的了……）而其他参数没有改变。假定忽略炉子向空气的散热，假定水的加热T-t曲线还是线性的，那么效率表达式仍然为η = 1/{[kCM/(δQ/dt)]+1}，可见，k越小，加热越慢，也就是炉子火力越小，水散热损失也就越小，效率越高。但是实际上，火力越小，那么加热时间越长，炉子向空气的散热也就越大，也就是之前计算中忽略掉的那部分Q2也就越大，所以效率也不一定增大。然而本题中未对Q2做讨论，所以没办法判断什么火力效率最高。