Question

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an（n属于N*）

证明：数列｛an+1｝为等比数列，并求数列｛an｝的通项公式
若bn=（2n+1)an+2n+1，数列｛bn｝的前n项和为Tn ，求满足不等式（Tn-2）/ (2n-1) ＞2010的n的最小值。

Answer 1

Sn+n=2an，S（n-1）+n-1=2a（n-1），相减得an+1=2（a（n-1）+1），又a1=1，所以an=2的n次方-1
bn=（2n+1）2^n，Tn为其前n项和，2Tn为（2n+1）2^（n+1）的前n项和，
2Tn-Tn=（2n+1）2^(n+1)-2(2^2+2^3+.......2^n)-3*2=（2n+1）2^(n+1)-2^(n+2)+2
（Tn-2）/ (2n-1) =2^(n+1)>2010,所以取2^(n+1)=2048=2^11,所以n=10

Answer 2

1、证明：
Sn+n=2an，——》S1+1=a1+1=2a1，——》a1=1，
S(n-1)+(n-1)=2a(n-1)，
——》(Sn+n)-[S(n-1)+(n-1)]=an+1=2an-2a(n-1)，
——》(an+1)/[a(n-1)+1]=2，
即数列｛an+1｝为等比数列，其首项为a1+1=2，q=2，
——》an+1=2^n，
——》an=2^n-1；
（2）、bn=(2n+1)an+2n+1=(2n+1)*2^n，
——》Tn=3*2+5*2^2+7*2^3+...+(2n-1)*2^(n-1)+(2n+1)*2^n，
——》Tn/2=3+5*2+7*2^2+...+(2n-1)*2^(n-2)+(2n+1)*2^(n-1)，
两式相减得：
Tn/2=-3-2[2+2^2+...+2^(n-1)]+(2n+1)*2^n=(2n-1)*2^n+1，
——》Tn=(2n-1)*2^(n+1)+2，
——》(Tn-2)/(2n-1)=2^(n+1)>=2^11=2048>2010
——》n>=10，
即n的最小值为10。

Answer 3

证明:(1)因为an的前n项和满足Sn＋n=2an,所以a1＋1=2a1,所以a1=1,则S2＋2=2a2,所以a1＋a2＋2=2,所以a2=3,所以a3=a1＋a2＋3=7,所以a1＋1=2,a2＋1=4,a3＋1=8,所以(a2＋1)/(a1＋1)=2,(a3＋1)/(a2＋1)=2,所以数列{an＋1}是以首项为2,公比为2的等比数列。,所以an＋1=2*2^(n-1)=2^n,所以an=2^n-1。(2)由1可知an=2^n-1,所以bn=(2n＋1)an＋2n＋1=(2n＋1)(an＋1)=(2n＋1)*2^n,只懂算到这里了。

Answer 4

(1)
Sn+N=2A(n)
S(n+1)+(n+1)
=2A(n+1)
=Sn+A(n+1) + n+1
=2A(n) + A(n+1)+1
===>A(n+1)=2A(n)+1
所以A(n+1) + 1= 2(A(n) + 1)
所以等比数列成立.
设Kn=A(n)+1
K1=2,Kn=2^n,所以an=2^n-1