Question

若函数fx=x（x-a）²在（1，2）上递增。求实数a的取值范围。

Answer 1

依题意得：f(x)=x³-2ax²+a²x
f'(x)=3x²-4ax+a²
∵f(x)在（1,2）上递增
∴f'(x)≥0在(1,2)上恒成立
（根据f'(x)二次函数的性质可以发现f'(0)=a²
所以f’(x)交y轴与原点或正半轴）
①a≤0时显然成立
③a>0时
f'(x)=3x²-4ax+a²
=（3x-a）(x-a)
所以f'(x)=0有两根a，a/3
所以a≤1或a/3≥2
解得a≤1或a≥6
综上所述：a∈（-∞，1]∪[6,+∞）

Answer 2

f（x）的导数g（x）=（x-a）²+x（x-a）
=3x²-4ax+a²
要使在（1,2）上递增，说明g（x）在此区间恒大于等于0
g（x）有两根x1=a/2,x2=a
因此a/3>=2或者a<=1
所以a>=6或者a<=1。

Answer 3

a≤1或a≥6