Question

求函数y=x²*√(1-x²) （0<x<1) 的最大值

我们还没学导数，所以用不等式的知识回答，谢谢

Answer 1

如上，哪里不明白可以继续问我~

追问

那个二分之三次方是什么意思？，还有不等号后面的式子是怎么得到的

追答

利用这个均值不等式得到的，当a=b=c时取等号。变个形就得到我上面写的不等式了。

这种题目一般用试凑的办法约掉未知变量。

追问

这个不等式高中老师好像没讲过吧，我才高一

追答

这是几个常用的不等式，除了调和平均用的少，其余的一般都要背下来，尤其对应n=2,3时经常用到。

回答你的那个不等式给你证明一下吧，哎，我老人家容易吗~

下面用的是初中的因式分解你肯定会吧，

Answer 2

注意a,b,c>0时有不等式a²+b²+c²≥(a+b+c)²/3
≥[3(abc)^(1/3)]²/3=3(abc)^(2/3)
=> abc≤[(a²+b²+c²)/3]^(3/2)
等号成立当且仅当a=b=c
由0<x<1，∴0<√(1-x²)<1
∴x²·√(1-x²)=2(√2x/2)·(√2x/2)·√(1-x²)
≤2[(x²/2+x²/2+1-x²)/3]^(3/2)
=2√3/9
等号成立当且仅当√2x/2=√(1-x²)
即x²/2=1-x² => x=√6/3
即x=√6/3时,y有最大值2√3/9

追问

没有其他方法了吗，这个式子没学过

追答

那个式子没学过
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≥0 展开移项得
2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ca
=>3(a²+b²+c²)≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
=(a+b+c)² ，这就得到了第一个不等式
a²+b²+c²≥(a+b+c)²/3 显然由第一个式子知
等号成立当且仅当,a=b=c
而a,b,c>0时，有均值不等式a+b+c≥3(abc)^(1/3)
∴可以得到a²+b²+c²≥3(abc)^(2/3)
即abc≤[(a²+b²+c²)/3]^(3/2)
之后就把原式拆开成3项相乘 (√2x/2)·(√2x/2)·√(1-x²)
利用上面的不等式式便可消掉x，再由取等条件便得到
最终结果

Answer 3

函数式表示不清楚*是表示哪个部分

追问

乘号