Question

limx→0f(x)=f(0)=1,f(2x)-f(x)

lim(x→0)f(x)=f(0)=1,f(2x)-f(x)=x^2，求f(x)

Answer 1

f(2x)-f(x)=x^2 证明其是一个一元二次函数
不妨设f（x）=ax²+bx+c
那么f（2x）-f（x）=3ax²+bx=x² 则 a=1/3 b=0
f（x）=x²/3+c 又lim(x→0)f(x)=f(0)=1 则 f（x）=x²/3+c=c=1
则f（x）=x²/3+1

追问

为什么它就是个一元二次函数？

追答

我猜你就会问这个问题

你可以用排除法看，若是幂函数，三角函数这类函数其f(2x)-f(x)肯定不会为0

你看、也可以设f（x）=a1x^n+a2x^n-1+...+an 发现再用f(2x)-f(x)=x² 仅有二次项
这也算是做题经验吧~

追问

那这题还能不能用导数解？因为这题是导数积分一章里的。。

追答

那就用迭代法吧
由f(2x)-f(x)=x^2得：f(x)-f(x/2)=x^2/8，f(x/2)-f(x/4)=x^2/32，……，f(x/2^n)-f(x/2^(n+1))=x^2/2·4^(n+1)
把所有式子相加得：f(x)=f(x/2^(n+1))+(1/4+1/16+…+1/4^(n+1))x^2
等式两边取极限，当n→+∞时，limf(x)=limf(x/2^(n+1))+lim[(1/4+1/16+…+1/4^(n+1))x^2]
即limf(x)=f(x)，limf(x/2^(n+1))=f(0)，lim(1/8+1/32+…+1/2·4^(n+1))=1/6
故，f(x)=1+x²/6

不好意思 昨天解题的时候 3ax²+bx=x² 掉了1/2