Question

高中数学函数最值

Answer 1

分情况讨论
当x>=a时
f(x)=2x^2+(x-a)^2=3x^2-2ax+a^2
f(0)=a^2>=1
a<=-1
当x<=a时
f(x)=2x^2-(x-a)^2=x^2+2ax-a^2
f(0)=-a^2>=1
无解
所以a<=-1

当x>=a时
f(x)=3x^2-2ax+a^2
当a<=0时
x取a/3时f(x)最小为2/3a^2,a=0
当a>=0时
x取a时f(x)最小为2a^2,a=0
f(x)=0
当x<=a时
f(x)=x^2+2ax-a^2
当a>=0时
x取-a时f(x)最小为-2a^2
当a<=0时
x取a时f(x)最小为2a^2,a=0
所以f(x)最小为-2a^2,a>0

x>a,h(x)=3x^2-2ax+a^2>=1
若a^2>=3/2
解集为(a,+∞)
若a^2<3/2
解集为[(-∞,(a-√3-2a^2)/3)∪((a+√3-2a^2)/3,+∞)]∩(a,+∞)

追问

答案不是你做的那样

追答

1)
若f(x)为偶函数,则f(-x)=x^2+|-2x-a| =f(x)=x^2+|2x-a|
|-2x-a| =|2x-a|
∵-2x-a=2x-a不是对所有x∈R都成立,
∴只能2x+a=2x-a
a=0.

2)
当x≥a/2时,
f(x)=x^2+2x-a=(x+1)^2-(a+1)
∵a/2＞1＞-1
∴当x≥a/2时,函数f(x)的最小值是
f(a/2)=a^2/4

当x≤a/2时,
f(x)=x^2-2x+a=(x-1)^2+(a-1)
∵a/2＞1
∴当x≥a/2时,函数f(x)的最小值是
f(1)=a-1

a-1＜a^2/4,∴在x∈R上,函数f(x)的最小值是a-1