Question

求解一道数学题

已知二次函数f(x)满足f（1+x）=f（1-x），且f（0）=0,f(1)=1,若f(x)在区间[m,n]上的值域是[m,n]，则m= n=

Answer 1

【参考答案】

设f(x)=ax²+bx+c，由f(1+x)=f(1-x)得
a(1+x)²+b(1+x)+c=a(1-x)²+b(1-x)+c
a(1+2x+x²)+b+bx=a(1-2x+x²)+b-bx
2ax+b+bx=-2ax+b-bx
(4a+2b)x=0
∴ 2a+b=0，即b=-2a
∴f(x)=ax²-2ax+c
由f(0)=0, f(1)=1得
c=0， a-2a+c=1
解得 a=-1, c=0
∴f(x)=-x²+2x,其对称轴是直线x=1，在(-∞，1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减。
∵f(2)=f(1)=1
当1-x=2时 得等式 f（0）=f（2）
又因为 f（0）不等于f（2）
则得x>=0 得 m=0
进而得 n=2
故 m=0, n=2

追问

(4a+2b)x=0
∴ 2a+b=0

为什么不是X=0呢？

追答

x是函数f(x)的自变量，其取值范围是R，故不能为0

追问

0不包含于R吗？

追答

x是函数f(x)的自变量，其取值范围是R，只有当x=0时(4a+2b)x=0才能成立，
但题目要求(4a+2b)x=0恒成立，而x不一定一直能取0，故只有4a+2b=0，
于是有 b=-2a

Answer 2

楼主，解答过程如下：简单思路：由f(1＋x)=f(1－x),可知f(x)为延X=1对称的二次函数，由f(0)=0,f(1)=1可以在图上画出此二次函数，此二次函数最大值为1，故n=1

解：f(x)=ax²+bx+c

f(0)=c=0
f(1)=a+b+c=1
a(1+x)²+b(1+x)+c=a(1-x)²+b(1-x)+c

a=-1,b=2,c=0
f(x)=-x²+2x=-(x-1)²+1
f(x)≤1
m<n≤1

max[f(x)]=f(n)=-n²+2n=n
min[f(x)]=f(m)=-m²+2m=m

m=0，n=1
楼主，要是没疑问的话就采纳吧，谢谢。

追问

正解！我才采纳了，错了，怎么改？？

追答

可以重新提问，然后我再回答。
不过没事，帮到你了就好。算了吧。
祝学习进步。