Question

y=1/(1+x^4)的不定积分是什么？

貌似积不大出来。
一楼的同志，补成x^2但是d后面不是x^2怎么能直接积呢？
二楼的同志貌似把ln打成log了，真是可惜。。。。。
三楼的同志，分部积分第二步那里d(1/(1+x^4))好像还要变成[-1/(1+x^4)^2*4x^3]dx吧？
四楼的同志，大大的佩服。

Answer 1

1+x^4 = (1+x²)² - 2x² = (1+x²+√2x)(1+x²-√2x)
1/(1+x^4)
= [1/(1+x²-√2x) - 1/(1+x²+√2x)]/2√2x
= 1/2√2 *[1/x + (√2-x)/(1+x²-√2x) - 1/x + (√2+x)/(1+x²+√2x)]
= 1/4√2 * [(2x+2√2)/(x²+√2x+1) - (2x-2√2)/(x²+1-√2x)]
= 1/4√2 *[(2x+√2)/(x²+√2x+1) - (2x-√2)/(x²+1-√2x) + √2/(x²+√2x+1) + √2/(x²+1-√2x)]
对(2x+√2)/(x²+√2x+1)求积分得ln(x²+√2x+1)
对(2x-√2)/(x²+1-√2x)求积分得ln(x²+1-√2x)
对√2/(x²+√2x+1)求积分得2arctan(√2x+1)
对√2/(x²-√2x+1)求积分得2arctan(√2x-1)
原式 = 1/4√2 *{ln[(x²+√2x+1))/(x²+1-√2x)] + 2arctan(√2x+1) + 2arctan(√2x-1)} + C

Answer 2

可以把x^4看成是(x^2)^2，这就可以用arctg的形式积分：
∫1/(1+x^4)dx=∫1/(1+(x^2)^2)dx=arctgx^2+C

Answer 3

首先用分部积分法则：
∫1/(1+x^4)dx＝x/(x^4+1)-∫xd(1/x^4+1)
=x/(x^4+1)+∫4x^4/(x^4+1)dx
=x/(x^4+1)+∫[4(x^4+1)-4]/dx
=x/(x^4+1)-4∫1/(1+x^4)dx+4x
即∫1/(1+x^4)dx＝－4∫1/(1+x^4)dx＋x/(x^4+1)＋4x
令∫1/(1+x^4)dx＝M
所以M＝－4M＋x/(x^4+1)＋4x
故M＝x/5(x^4+1)＋4x/5
所以∫1/(1+x^4)dx＝x/5(x^4+1)＋4x/5＋C（C为积分常数）

Answer 4

1/8*2^(1/2)*log((x^2+x*2^(1/2)+1)/(x^2-x*2^(1/2)+1))+1/4*2^(1/2)*atan(x*2^(1/2)+1)+1/4*2^(1/2)*atan(x*2^(1/2)-1)+C