Question

高中数学、图中第五题。要详细过程、谢谢〜

Answer 1

这题就是一个简单的均值不等式，让人整的忒复杂。

设直角边分别为 a、b ，则斜边为 √(a^2+b^2) ，
由已知得 a+b+√(a^2+b^2)=8+4√2 ，
因此由均值不等式得 8+4√2>=2√ab+√(2ab)=(2+√2)*√(ab) ，
解得 √(ab)<=(8+4√2)/(2+√2)=4 ，
所以 S=1/2*ab<=1/2*16=8 ，
当且仅当 a=b=4 时，三角形有最大面积 8 。

追问

「由已知得 a+b+√(a^2+b^2)=8+4√2 ，
因此由均值不等式得 8+4√2>=2√ab+√(2ab)=(2+√2)*√(ab) 」
得到这个的前提是两个不等式最值相等。。就要证明和一定、两数相等时乘积最大。那么如何说明？

但如果我知道了（或者说可以直接使用的话）「和一定、两数相等时乘积最大」，我就不需要用均值不等式了。直接用勾股定理。

追答

均值不等式除了能求出最值，顺便还能求出什么时候取最值，这个在均值定理中已经很清楚了。

「和一定、两数相等时乘积最大」正是均值定理的推论，当然可以直接引用。然而本题中，和不是定值，积也不是定值，仅是周长为定值，那就需要用均值不等式去转换，不能直接令 a=b 时用勾股定理，这在逻辑上是不成立的。

追问

谢谢

Answer 2

追问

答案是8

第六、七行如何得到？

追答

我再想一哈

追问

嗯谢谢你啦〜

追答

追问

对啊。。可是怎么说明过程？

追答

当x=y时有最大值

追问

我如何解释当两边长一样时乘积最大？

追答

我想一下

追问

嗯谢谢

追答

追问

第三行计算在两个最值相加时就已经用到了当两边长一样时乘积最大这一定理。

一样解释当两边长一样时乘积最大？

追答

嗯，

复变函数，高中只能这样解

追问

是啊。。所以我虽然会做但总觉得没有完全解释清楚。。

追答

追问

你这个知识是什么时候学的啊。。我这是高一的题目啊。。

追答

从理论上就这样解释，是大学学的。拉格朗日数乘法。

追问

拉格朗日数乘法。。能稍微说一下它大致是什么吗？。。麻烦你了，谢谢〜

追答

我想一下

追问

嗯谢谢〜

追答

不懂不要紧，知道有这么一回事就对了。