Question

圆锥曲线的第二定义

希望提供多种图形定义

Answer 1

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。 用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。 　　 通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言： 　　1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。 　　2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。 　　3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。 　　4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。 　　5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。 　　6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。 　　7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。 代数观点 　　在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。 焦点-准线观点 　　（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。） 　　给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线，根据e的范围不同，曲线也各不相同，具体如下： 　　1) e=0，轨迹退化为一点（就是点P）。 　　2) 0<e<1，轨迹为椭圆。 　　3) e=1（即到P与到L距离相同），轨迹为抛物线。 　　4) 1<e<∞，轨迹为双曲线。（注意，虽然只有一个点和一条线，但可以得到双曲线两个分支） 　　5) e=∞，轨迹退化为一直线（就是L）。