Question

高数 关于可导的问题

在复习全书中某题的解答有这么一句话：[f(x)]^2=∫(0→x^2)f(√t)dt，【由f(x)连续及x^2可导知[f(x)]^2可导，又f(x)﹥0，从而f(x)可导】，且{[f(x)]^2}′=2f(x)f′(x)。请问【。。。】里的怎么理解？？

Answer 1

这个是变上限定积分的一个定理啊，如果f(x)连续，则由积分∫(a→x) f(t)dt确定的函数是可导的，且导数是f(x)。这里f(√t)在[0,x^2]上连续，所以积分确定的函数是可导的，方程两边可以求导。

追问

那【f(x)﹥0，从而f(x)可导】这句是因为[f(x)]^2可导，则{[f(x)]^2}′=2f(x)f′(x)存在，即f′(x)存在，所以f(x)可导么？ 为什么要f(x)﹥0？

追答

右边函数记为g(x)吧，是非负、可导的，f(x)^2=g(x)，所以f(x)^2可导，f(x)＞0，所以f(x)=√g(x)也可导。所以方程两边可以直接求导，左边的导数是2f×f'