Question

设二次函数f（x）=ax^2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：

设二次函数f（x）=ax^2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：
①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x-1）=f（-x-1）恒成立；
②当x∈（0，5）时，2x≤f（x）≤4|x-1|+2恒成立
求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤2x成立．

Answer 1

二次函数f（x）=ax^2+bx+c（a，b，c∈R）
f（x-1）=f（-x-1）恒成立,
则f(x)关于x=-1对称
∵f（x）的最小值为0
∴f(x)=a(x+1)² (a>0)
当x∈（0，5）时，
2x≤f（x）≤4|x-1|+2恒成立
2x≤a(x+1)²≤4|x-1|+2恒成立
即 2x/(x+1)²≤a≤(4|x-1|+2)/(x+1)²
2x/(x+1)²=2x/(x²+2x+1)=2/(x+1/x+2)≤1/2
设g(x)=(4|x-1|+2)/(x+1)² , 0<x<5
x≥1时，g(x)=（4x-2)/(x+1)²
g'(x)=[4(x+1)²-2(4x-2)(x+1)]/(x+1)⁴
=-4(x²-x-2)/(x+1)⁴
=-4(x-2)/(x+1)³
x∈[1,2),g'(x)>0,x∈(1,5],g'(x)<0
∴g(x)在[1,2)上递增，在(1,5]上递减
又g(1)=1/2,g(5)=1/2
∴g(x)min=1/2
0<x<1时，g(x)=(6-4x)/(x+1)²,易知为减函数
g(x)>g(1)=1/2
∴g(x)min=1/2
a≤g(x)恒成立，则a≤1/2
综上，a=1/2,f(x)=1/2(x+1)²

存在t使得 f(x+t）≤2x,
即(x+t+1)²≤4x 对x∈[1,m]恒成立
h(x)=(x+t+1)²,x∈[1,m]
y=4x在[1,m]是线段，h(x)为抛物线弧
只需{h(1)=(t+2)²≤4①
{h(m)=(m+t+1)²≤4m②
对t有实数解即可。
①==> -4≤t≤0
需②在[-4,0]上有解
设 k(t)=(t+m+1)²-4m
-(m+1)<-4，即m>3时，
需k(-4)=(m-3)²-4m=m²-10m+9≤0
解得 1≤m≤9
∴3<m≤9
因为求m的最大值，1<m≤3的情况不必研究
∴符合条件的最大的实数m值为9

追问

∴g(x)在[1,2)上递增，在(1,5]上递减?

追答

写的很清楚

追问

不是[2,5)递减？

追答

明显的笔误

追问

①==> -4≤t≤0
需②在[-4,0]上有解
为什么呀

追答

①②要同时成立
②必须在[-4,0]内有解，不然交集为空集