Question

高中平面向量问题

已知点P为y轴上的动点,点M为x轴上的动点,点F(1,0)为定点,且满足向量PN+1/2向量NM=0，向量PM•向量PF=0.
（1）求动点N的轨迹E的方程；
（2）过点F且斜率为k的直线L与曲线E交于两点A,B，试判断在x轴上是否存在点C，使得︳CA²︳+︳CB²︳=︳AB²︳成立，请说明理由.

Answer 1

设P点为（0，a），M点为（b，0），N点为（x，y），
则向量PM乘向量PF=0得，（b，-a）*（1，-a）=b+a²=0，
由向量PN+1/2向量NM=0得（x，y-a）=1/2 *（x-b，y），
化简得 b=-x，a=y/2。
带入b+a²=0，化简得，y²=4x

2.
CA^2+CB^2=AB^2,即有角BCA=90度,即有BC和AC垂直.
设C坐标是(c,0),过F的直线方程是y=k(x-1),代入到E中有:k^2(x^2-2x+1)=4x
k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0
x1+x2=(2k^2+4)/k^2,x1x2=1
向量BC=(c-x1,-y1),AC=(c-x2,-y2)
BC垂直于AC,则有(c-x1)*(c-x2)+y1y2=0
c^2-c(x1+x2)+x1x2+k^2(x1-1)(x2-1)=0
c^2-c(x1+x2)+1+k^2x1x2-k^2(x1+x2)+k^2=0
c^2-c(2k^2+4)/k^2+1+2k^2-(2k^4+4k^2)/k^2=0
c^2-(2c+4c/k^2)+1+2k^2-2k^2-4=0
c^2-(2+4/k^2)c-3=0
判别式=(2+4/k^2)^2+12>0
故此方程有解,即说明在X轴存在点C,使得︳CA²︳+︳CB²︳=︳AB²︳成立.

Answer 2

由 PN + 1/2 NM=0 ------> P 为MN中点；
由向量PM * 向量PF =0 ----->PM 垂直于PF。

1）： P(0， b)----> b^2 = MF *MO= 1*OM ---> OM= b^2----->中点工式得N点坐标xn=b^2; yn=2b
-----》N曲线方程 x= (y^2)/4 ---->是抛物线。

2）： 设L: y= k(x-1)
联立 y^2 =4x ----->韦达定理， 设C（m, 0), 解直角三角形ABC

Answer 3

(1)
let P(0,y'), M(x',0) ,N(x,y)
F(1,0)

PM.PF=0

(x',-y').(1,-y')=0
x'+y'^2=0 (1)

PN+(1/2)NM=0
(x,y-y') + (1/2)(x'-x, -y)=0
=> (1/2)(x'+x) = 0 (2) and
(1/2)y -y' =0 (3)
2(2) +(3)^2
x'+y'^2 = y^2/4 -x
y^2/4 -x =0 (from (1)

N的轨迹E的方程 E : x =y^2/4
(2)
过点F且斜率为k的直线L

y =k(x-1) (4)
E: x =y^2/4 (5)
let A(x1,y1) B(x2,y2)
sub (4) into (5)
x= k^2(x-1)^2 /4
k^2x^2 -(2k^2+4)x +k^2 =0
x1+x2 = (2k^2+4)/k^2 (6)
x1x2 = 1 (7)
Similarly
y =k(y^2/4-1)
4y =ky^2 -4k
ky^2 -4y - 4k =0
y1+y2 = 4/k (8)
y1y2 = -4 (9)

let C be (x0,0)

|CA|²+|CB|²=|AB|²
(x0-x1)^2+y1^2 + (x0-x2)^2+(y2)^2 = (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2
2(x0)^2 - 2x0(x1+x2)+ [(x1)^2+(x2)^2] + [(y1)^2+(y2)^2] = (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2

2(x0)^2 - 2x0(x1+x2) +2x1x2+ 2y1y2=0
(x0)^2 - x0(2k^2+4)/k^2 + 1-4 =0
(x0)^2 + (4/k^2)x0 +3 =0
△= 16/k^4 -12 > 0
for k^4< 4/3

=>存在点C，使得|CA|²+|CB|²=|AB|²成立