Question

已知数列{An}，其中A1=1且An=2Sn²/2Sn-1（n≥2，n∈N*）求数列{An}的通项公式An

2题: 已知正项数列{An}，其前n项和Sn满足10Sn=An²+5An+6且A1,A3，A5成等比数列，求数列{An}的通项公式

Answer 1

1 将an=Sn-S(n-1)代入已知条件an=2Sn^2/(2Sn -1)得
Sn-S(n-1)=2Sn²/(2Sn-1) （n≥2），展开化简得
2Sn²-2Sn*S(n-1)-Sn+S(n-1)=2Sn²
S(n-1)-Sn=2S(n-1)*Sn
两边同除以Sn*S(n-1)得
1/Sn-1/S(n-1)=2 （n≥2）
所以{1/Sn}是公差为2的等差数列，其首项=1/S1=1/a1=1
所以1/Sn=1+2(n-1)=2n-1
Sn=1/(2n-1)
递推得S(n-1)=1/(2n-3)
两式相减得Sn-S(n-1)= 1/(2n-1)-1/(2n-3)=-2/[(2n-1)(2n-3)]
故通项公式an=-2/[(2n-1)(2n-3)] （n≥2）。
综上所述，当n=1时，an=1；
当n≥2时，an=-2/[(2n-1)(2n-3)]。

2解：10Sn=an²+5an+6

10an=10[Sn-S(n-1)]
````=an²+5an-a(n-1)²-5a(n-1)
an²+5an-a(n-1)²-5a(n-1)=0
[an-a(n-1)][an+a(n-1]-5[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-5]=0
an>0
a(n-1)>0
所以an-a(n-1)-5=0 ===>
an-a(n-1)=5,数列{an}为等差数列.
10a1=a1²+5a1+6
a1²-5a1+6=0
a1=3
或 2
所以an=5n-2 或 an=5n-3

明教为您解答，
如若满意,请点击[满意答案];如若您有不满意之处,请指出,我一定改正!
希望还您一个正确答复!
祝您学业进步!