Question

高数问题：一个多元函数连续，偏导数存在，且偏导数不连续，为什么不能说明函数不可微？

书上说如果偏导数不连续，则应该用可微分的定义来检验是否可微！！！我的另一个问题是：怎样用可微分的定义来检验是否可微？跪求高手解答

Answer 1

       举个例子就够了，如下这个函数满足你的条件：

追问

怎样用可微分的定义来检验这类函数是否可微？

追答

　　首先，
　　　　Df(0, 0)/Dx = lim(x→0) [f(x, 0) - f(0, 0)]/x = lim(x→0) xsin(1/x^2) = 0，
　　　　Df(0, 0)/Dy = lim(y→0) [f(x, 0) - f(0, 0)]/y = lim(y→0) ysin(1/y^2) = 0，
其次，记 ρ = √(x^2 + y^2)，则
　　　　{f(x, y) - f(0, 0) - [Df(0, 0)/Dx]Δx - [Df(0, 0)/Dy]Δy}/ρ
　　　= ρsin(1/ρ^2) →0 (ρ → 0)，
根据全微分的定义，得知函数 f 在 (0, 0) 可微。