Question

线性代数难题！！！大神进！！！

Answer 1

这题的思路是先通过A伴随的一系列条件求出A阵，带入F（x）求出二次型，然后按照正常求正交变换的方法就求出来了。我给你写到求出A阵，后面带进去正常算就好了。

由（A*-4E）=0的解为（1,0，-2）T可以了解A*有一个特征值为4，对应特征向量为（1,0，-2）T
再由A行列式为-12，所以A有特征值-12/4=-3
现在设A有-3，x，y3个特征值
所以-3+x+y=1
-3xy=12 ==》x=y=2
由于A*和A的特征向量是一样的，所以A有一特征向量为（1,0，-2）T，由于A为实对称阵，所以特征向量相互之间正交，即内积为零。
x2，x3赋值1，0 / 0，1求出2个特征向量（0，1，0）T，（2，0，1）T正好相互正交，只做单位化就好
做好单位化按照特征值顺序排在一起组成Q阵，特征值对角摆放组成B阵
A=Q B Q^T （1 0 2）
= （0 2 0）
（2 0 -2）
把A的元素带到F（x）中，用展开公式：a11A11+……+a44A44展开算出二次型，之后提出二次型矩阵A，后面的没什么难度，纯是硬算，算特征值，特征向量。
特征向量正交化（要注意正交化包括单位化，内积为零仅仅是正交化的一部分），把正交化之后的向量摆在一起就是Q了。特征值摆出来就是F（y）（千万注意，到这步一定要换成y的函数）也就是要求的标准型