Question

在三角形ABC中，已知tan（A+B/2）=sinC，下面结论正确的是

tanA*1/tanB=1 2. 0＜sinA+sinB≤√2
3. sin^A+cos^B=1 4.cos^A+cos^B=sin^C
求详细步奏

Answer 1

(A+B)/2+ C/2=90°，
Sin(A+B)/2=cos C/2, cos(A+B)/2= Sin C/2,
tan[(A+B)/2]= Sin(A+B)/2 /cos(A+B)/2= cos C/2 /Sin C/2,
tan[(A+B)/2]=sinC可化为：
cos C/2 /Sin C/2=2 Sin C/2 cos C/2
cos C/2=2 Sin ²C/2 cos C/2
cos C/2(1-2 Sin ²C/2)=0,
cos C/2 cos C=0,
cos C=0, C=90°.
A+B=90°.
sinA+sinB= sinA+cosA
=√2sin(A+45°)
45°<A+45°<135°,
√2/2<sin(A+45°)≤1，
1<sinA+sinB≤√2
所以2正确

cos^2 A+cos^2 B= cos^2 A+ sin^2 A=1，
sin^2 C =sin^2 90°=1，
所以cos^2 A+cos^2 B= sin^2 C。
所以4正确。