Question

一元二次方程的解题思路和一般步骤

尽量有例题。讲得尽可能详细

Answer 1

一般解法　　1..配方法（可解所有一元二次方程）
　　2.公式法（可解所有一元二次方程）
　　3.因式分解法（可解部分一元二次方程）
　　4.开方法（可解部分一元二次方程）一元二次方程的解法实在不行(你买个卡西欧的fx-500或991的计算器 有解方程的，不过要一般形式)
　　一、知识要点：
　　一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基
　　础，应引起同学们的重视。
　　一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2
　　的整式方程。
　　解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解
　　法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
　　二、方法、例题精讲：
　　1、直接开平方法：
　　直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
　　方程，其解为x=m± .
　　例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
　　分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以
　　此方程也可用直接开平方法解。
　　（1）解：(3x+1)2=7×
　　∴(3x+1)2=5
　　∴3x+1=±(注意不要丢解)
　　∴x=
　　∴原方程的解为x1=,x2=
　　（2）解： 9x2-24x+16=11
　　∴(3x-4)2=11
　　∴3x-4=±
　　∴x=
　　∴原方程的解为x1=,x2=
　　2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
　　先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
　　将二次项系数化为1：x2+x=-
　　方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
　　方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=
　　当b2-4ac≥0时，x+ =±
　　∴x=(这就是求根公式)
　　例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
　　解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2
　　将二次项系数化为1：x2-x=
　　方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
　　配方：(x-)2=
　　直接开平方得：x-=±
　　∴x=
　　∴原方程的解为x1=,x2= .
　　3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b^2-4ac的值，当b^2-4ac≥0时，把各项
　　系数a, b, c的值代入求根公式x=(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
　　例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
　　解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
　　∴a=2, b=-8, c=5
　　b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
　　∴x= = =
　　∴原方程的解为x1=,x2= .
　　4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
　　两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
　　根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
　　例4．用因式分解法解下列方程：
　　(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
　　(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）
　　(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
　　x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
　　(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
　　∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
　　(2)解：2x2+3x=0
　　x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
　　∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
　　∴x1=0，x2=-是原方程的解。
　　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
　　(3)解：6x2+5x-50=0
　　(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
　　∴2x-5=0或3x+10=0
　　∴x1=, x2=- 是原方程的解。
　　(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
　　(x-2)(x-2 )=0
　　∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
　　小结：
　　一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般
　　形式，同时应使二次项系数化为正数。
　　直接开平方法是最基本的方法。
　　公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式
　　法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程
　　是否有解。
　　配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
　　解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方
　　法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
　　例5．用适当的方法解下列方程。(选学）
　　（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0
　　（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
　　分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差
　　公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。
　　（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。
　　（3）化成一般形式后利用公式法解。
　　（4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。
　　（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0
　　[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
　　(5x-5)(-x+13)=0
　　5x-5=0或-x+13=0
　　∴x1=1,x2=13
　　（2）解： x2+(2- )x+ -3=0
　　[x-(-3)](x-1)=0
　　x-(-3)=0或x-1=0
　　∴x1=-3，x2=1
　　（3）解：x2-2 x=-
　　x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
　　△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
　　∴x=
　　∴x1=,x2=
　　（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
　　4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
　　[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
　　2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
　　∴x1= ,x2=
　　例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学）
　　分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我
　　们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方
　　法）
　　解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
　　即 (5x-5)(2x-3)=0
　　∴5(x-1)(2x-3)=0
　　(x-1)(2x-3)=0
　　∴x-1=0或2x-3=0
　　∴x1=1,x2=是原方程的解。
　　例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
　　解：x2+px+q=0可变形为
　　x2+px=-q (常数项移到方程右边)
　　x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
　　(x+)2= (配方)
　　当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论）
　　∴x=- ±=
　　∴x1= ,x2=
　　当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。
　　说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母
　　取值的要求，必要时进行分类讨论。
　　练习：
　　（一）用适当的方法解下列方程：
　　1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
　　3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
　　5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
　　（二）解下列关于x的方程
　　1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
　　练习参考答案：
　　（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
　　3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
　　6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式）
　　[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
　　即 (2x+9)(2x+2)=0
　　∴2x+9=0或2x+2=0
　　∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
　　（二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0
　　[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
　　∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
　　∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是
　　原方程的解。 原方程的解。
　　测试(有答案在下面)
　　选择题
　　1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ）
　　A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
　　2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（ ）。
　　A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
　　3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个
　　根是（ ）。
　　A、0 B、1 C、-1 D、±1
　　4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。
　　A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
　　C、b=0且c=0 D、c=0
　　5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）。
　　A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5
　　6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。
　　A、 B、 C、 D、无实根
　　7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。
　　A、x= B、x=-
　　C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
　　8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）。
　　A、(x-)2= B、(x- )2=-
　　C、(x- )2= D、以上答案都不对
　　9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）。
　　A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1
　　答案与解析
　　答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
　　解析：
　　1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5,
　　注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。
　　2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
　　3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时， ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1
　　时，方程成立，则必有根为x=1。
　　4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零，
　　则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0.
　　另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！
　　5．分析：原方程变为 x2-3x-10=0,
　　则(x-5)(x+2)=0
　　x-5=0 或x+2=0
　　x1=5, x2=-2.
　　6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。
　　7．分析：2x2=0.15
　　x2=
　　x=±
　　注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。
　　8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2，
　　整理为：(x-)2=
　　方程可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。
　　9．分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1
　　则(x-1)2=m+1.
　　中考解析
　　考题评析
　　1．（甘肃省）方程的根是（ ）
　　（A） （B） （C） 或 （D） 或
　　评析：因一元二次方程有两个根，所以用排除法，排除A、B选项，再用验证法在C、D选项中选出正确
　　选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元
　　二次方程是两个根，所以是错误的，而选项D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是错误的。正确选项为
　　C。
　　另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式，使得方程丢根，这种错误要避免。
　　2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。
　　评析：思路，根据方程的特点运用因式分解法，或公式法求解即可。
　　3．（辽宁省）方程的根为（ ）
　　（A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1
　　评析：思路：因方程为一元二次方程，所以有两个实根，用排除法和验证法可选出正确选项为C，而A、
　　B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
　　4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。
　　评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。
　　5．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ）
　　（A）x=3+2 （B）x=3-2
　　（C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2
　　评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方
　　根，即可选出答案。

Answer 2

能够因式分解的就因式分解,譬如x*x+7*x+6=0,分解因式得(x+1)*(x+6)=0,x=-1或-6不能一眼看出的就用公式法，还有就是判断deleta是否大于0