Question

高等数学：由函数的极限判断函数的极值的问题

设lim [f(x)-f(a)]/(x-a)^2 在x趋向a时极限值为1，则f(x)在x=a处（）
（A）导数存在，但f'(a)不等于1 （B）取得极大值
（C）取得极小值 （D）导数不存在

答案是C，为什么？推导过程？

Answer 1

首先，x趋向a时lim [f(x)-f(a)]/(x-a)^2 =1
所以必有f(x)在a点连续且lim [f(x)-f(a)]/(x-a)=0
即f(x)在a点可导，且f'(a)=0.

其实要证明C很容易，由f(x)在a点连续，lim [f(x)-f(a)]/(x-a)^2 在x趋向a时极限值为1
由于在x趋向a时分母(x-a)^2始终为正数，由极限的保号性，分子也必然为正数
因此在a点附近的邻域有f(x)-f(a)>0,即f(x)>f(a).

Answer 2

应用极限的局部保号性，[f(x)-f(a)]/(x-a)^2 在x趋向a时为正，所以[f(x)-f(a)>0，
再根据极值的定义即可

Answer 3

由已知得f'(x)/(x-a)=1 则f'(x)=x-a a的左侧递减，右侧递增，所以a处取得极小值