Question

已知函数f（x）对任意X,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时，f(x)<0,f(1)=-2/3.

1)。 求证；函数f(x)是R上的减函数。
2）。 求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值。

Answer 1

（1）证明：（1）设x1<x2,则x2-x1>0,
因为当x>0时f(x)<0，故f(x2-x1)<0,
f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1)<f(x1),
所以f(X)在R上是减函数

（2）解：因为f(x)在R上是减函数
所以f(x)在[-3，3]上的最大值是f(-3)，f(x)在[-3，3]上的最小值是f(3)
因为总有f(x)+f(y)=f(x+y)，令y=0，则可知f(0)=0
又令y=-x，则f(x)+f(-x)=f(0)=0，即f(x)=-f(-x)
由题意可知，f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2，即f(x)的最小值等于-2
f(-3)=-f(3)=2，即f(x)的最大值等于2