已知0<α<β<π,且sin(α+β)=5/13,tanα/2=1/2,求cosα的值 证明:cosβ<-1/5
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2013-08-15 · 知道合伙人教育行家
wangcai3882
知道合伙人教育行家
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本人擅长中学阶段数、理、化、生等理科知识,尤其是数学。高中时曾参加全国数学竞赛并获奖,期望能为你答疑
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解:
tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]=2*1/2/[1-(1/2)²]=4/3
即 sinα/cosα=4/3
0<α<β<π
所以
sinα=4/5 cosα=3/5
由tanα=4/3>1得 α>π/4
0<sin(α+β)=5/13<√2/2=sin(π/4)
而α>π/4
∴ π>α+β>π/2
∴ cos(α+β)<0
cos(α+β)=-√(1-(5/13)^2)=-12/13
cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)*sinα
=-12/13*3/5+5/13*4/5
=(20-36)/65
=-16/65
∵-16/65<-13/65=-1/5
∴cosβ<-1/5
tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]=2*1/2/[1-(1/2)²]=4/3
即 sinα/cosα=4/3
0<α<β<π
所以
sinα=4/5 cosα=3/5
由tanα=4/3>1得 α>π/4
0<sin(α+β)=5/13<√2/2=sin(π/4)
而α>π/4
∴ π>α+β>π/2
∴ cos(α+β)<0
cos(α+β)=-√(1-(5/13)^2)=-12/13
cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)*sinα
=-12/13*3/5+5/13*4/5
=(20-36)/65
=-16/65
∵-16/65<-13/65=-1/5
∴cosβ<-1/5
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解:
tanα/2=1/2
所以cosα/2=2sinα/2
因为sin^2(α/2)+cos^(α/2)=1
0<α<β<π
所以0<α/2<π/2
所以sinα/2=√5/5,cosα/2=2√5/5
所以
cosα=2cos^2(α/2)-1=3/5
sinα=4/5
sin(α+β)=5/13
所以cos(α+β)=-12/13
cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=-12/13*3/5+5/13*4/5=-16/65<-1/5得证
tanα/2=1/2
所以cosα/2=2sinα/2
因为sin^2(α/2)+cos^(α/2)=1
0<α<β<π
所以0<α/2<π/2
所以sinα/2=√5/5,cosα/2=2√5/5
所以
cosα=2cos^2(α/2)-1=3/5
sinα=4/5
sin(α+β)=5/13
所以cos(α+β)=-12/13
cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=-12/13*3/5+5/13*4/5=-16/65<-1/5得证
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