Question

高中数学必修四练习

已知向量a=(根号3sinwx,coswx)、向量b=(coswx,-coswx)，（w＞0），,函数f(x)=a·b+1/2的图像的两相邻对称轴间的距离为π/4。
.1。求w的值
2.若x∈（7π/24,5π/12）时，f（x）=-3/5，求cos4x的值
3.若cosx≥1/2，x∈（0，π）且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的值

Answer 1

（1）
f=a*b+1/2=√3sinwx*coswx-coswx*coswx+1/2
=(√3/2)sin2wx-(1/2)cos2wx (cos2x、sin2x的变形公式)
=sin(2wx-π/6)
这个函数的周期为π/w，
相邻对称轴 π/4，
则周期是π/2，
∴w=2
（2）
x∈（7π/24，10π/24）。
在7π/24时取值为0，5π/12时候取最小值-1，x此时取之在这两个之间，f(x)=-3/5.
sin(4x-π/6)=-3/5,这个范围里cos应该是正值(结合图形)，cos(4x-π/6)=4/5
列两个方程：
√3/2sin4x-1/2cos4x=-3/5
√3/2cos4x+1/2sin4x=4/5
∴cos4x=(3+4√3)/10
（3）cosx≥1/2，x∈（0，π ），实际上由cosx的性质，x∈（0，π/3 ）
f（x)=sin(4x-π/6)=m，设为t=4x-π/6,则t∈（-π/6，7π/6 ）
即f(t)=sint=m.在t的这个范围中，结合sint的图形，如果有且只有一个解，只能m取到f（t）的最大值，即m=1。
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