Question

已知数列{an}的前n项和Sn=2n(n+1) ①求数列{an}的通项公式

已知数列{an}的前n项和Sn=2n(n+1)
①求数列{an}的通项公式
②,③见图片：

已求出：①an=4n,②bn=2^n
谢谢！！！

Answer 1

至于三个集合的意义，前两个没什么好说的，就是两组数列中有限个项的集合，第三个集合就如图片中的解释，是存在于第一个集合但不存在与第二个集合中的元素组成的集合，形象的说，就是第一个集合减去第二个集的差，那么它的元素的和自然就是第一个集合元素总和减去第二个集合元素总和得到的差。

有点绕，可以追问。

图看不清告诉我

Answer 2

(1) s(n) = 2n(n+1),
a(1)=s(1)=2*1*2=4,
a(n+1)=s(n+1)-s(n) = 2(n+1)(n+2)-2n(n+1)=2(n+1)[n+2-n]=4(n+1),
a(n) = 4n.

(2) a[b(n)] = cq^(n-1), b(2) = 4, b(3) = 8.

c = a[b(1)],
cq = a[b(2)] = a(4) = 4*4 = 16.
cq^2 = a[b(3)] = a(8) = 4*8 = 32 ,
q = [cq^2]/(cq) = 32/16 = 2.
c = 16/q = 8.

a[b(n)] = 8*2^(n-1) = 2^(n+2) = 4b(n),
b(n) = 2^n

(3) I[b(n)] = {a(1),a(2),...,a[b(n)]}, A[b(n)] = {a[b(1)], a[b(2)], ..., a[b(n)]},
B[b(n)] = {a(i) | 1 <= i <= b(n), 且 a(i)不是A[b(n)]中的元素。}

I[b(n)] = I[2^n] = {a(1), a(2), ..., a(2^n)} = {4*1,4*2,4*3,..., 4*2^n} = {4i | 1 <= i <= 2^n}
A[b(n)] = A[2^n] = {a[b(1)], a[b(2)], ..., a[b(n)]} = {4b(1), 4b(2),...,4b(n)}
= { 4*2^1, 4*2^2, ..., 4*2^n } = {4*2^i | 1 <= i <= n }

记 I[b(n)]中各元素的和 为 s(n), 则
s(n) = 4[1+2+3+...+2^n] = 4*2^n(2^n + 1) = [2^n + 1]2^(n+2) = 2^(2n+2) + 2^(n+2),

A'[b(n)] = 4[2^1 + 2^2 + ... + 2^n] = 8[1 + 2 + ... + 2^(n-1)] = 8[2^n - 1]/(2-1) = 8[2^n - 1] = 2^(n+3) - 8,

由于B[b(n)]中的元素是从I[b(n)]中剔除掉A[b(n)]中的元素后，所剩余的元素。
因此，
B'[b(n)] = s(n) - A'[b(n)] = 2^(2n+2) + 2^(n+2) - 2^(n+3) + 8 = 8 + 2^(2n+2) - 2^(n+2)
= 8 + 2^(n+2) [2^n - 1]