Question

各位数学大神求解 要过程 第五题

Answer 1

∵AE//BC
∴△APE∽△CPB
∴PE/PB=PA/PC=2/3
不妨设PE=2a，PB=3a，则BE=5a
∵∠E=∠EBC=EC弧∠PAD，∠APD=∠EPA
∴△PAD∽△PEA
∴PD/PA=PA/PE
∴PD=PA*PA/PE=2*2/2a=2/a
∴DE=PE-PD=2a - 2/a=（2a^2-2）/a
∵AB=AC，可知AE垂直于△ABC的对称轴（即过AO的直径）
∴AE是⊙O的切线
∴AE^2=DE*BE=（2a^2-2）/a *5a =10a^2-10 ①
∵AE是⊙O的切线
∴∠EAD=∠B
∴△BAE∽△ADE
∴AE/AD=BE/AB=5a/5=a
∴AE=a*AD
∴AE^2=a^2*AD^2
∵BD直径
∴∠BAD=90°
∴AD^2=BD^2-AB^2=（3a+2/a）^2 - 25
∴AE^2=a^2*［3a+2/a）^2 - 25］=9a^4-13a^2+4 ②
①②联立，10a^2-10 =9a^4-13a^2+4
9a^4-23a^2+14=0
（a^2 -1）*（9a^2 -14）=0
a^2=1【则a=1，则AE=AD，不合题意，舍去】
a^2=14/9，
a=1/3*√14
∴⊙O半径=1/2*BD
=1/2*（3a+2/a）
=1/2*［3*1/3*√14 + 2/（1/3*√14）］
= 5/7*√14