Question

已知三角形ABC，（向量AB）^2=向量AB*向量AC+向量BA*向量BC+向量CA*向量CB，设a，b，c分别是三角形ABC的

已知三角形ABC，（向量AB）^2=向量AB*向量AC+向量BA*向量BC+向量CA*向量CB，设a，b，c分别是三角形ABC的三边，若不等式a^2（b+c）+b^（c+a）+c^2（a+b）>=kabc对任意a，b，c都成立，求k取值范围

Answer 1

楼上2位做得都不对呀，二楼还好点
但等号是娶不到的：
其实做法都差不多，但后面的要用导数才可以
或用其它方法判断函数的单调性，其实这是对勾函数
|AB|^2=AB·AC+BA·BC+CA·CB
=AB·(AC-BC)+CA·CB=|AB|^2+CA·CB
即：CA·CB=0，即：CA⊥CB
故是直角三角形
a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)≥kabc恒成立
即：k≤(a/c+c/a)+(b/c+c/b)+(a/b+b/a)恒成立
故需求(a/c+c/a)+(b/c+c/b)+(a/b+b/a)的最小值
令：y=(a/c+c/a)+(b/c+c/b)+(a/b+b/a)
中间的不写了，和2楼的一样
y=t+2/(t-1)，t∈(1,√2]
这就是对勾函数，y=t-1+2/(t-1)+1
在t∈(1,2]上是减函数，故当t=√2时
y取得最小值：√2+2/(√2-1)=2+3√2
-----------------------------当然，这里可以求导判断y的单调性
故：k≤2+3√2

Answer 2

追问

结论不太 对啊

k<=2+3倍根号2

追答

我直接用重要不等式了，重要不等式等号成立的条件不满足
t+2/(t-1)单调递减，所以当t=根号2时最小
最小值为2+3*根号2

所以：k≤2+3*根号2

Answer 3

手机上图，马上

追答

追问

结论不太对啊！

k<=2+3倍根号2