Question

有关高数的问题

y=cosx的迈克劳林公式为y=1-x^2/2i+o(x^2)，请问在求y在x=0处的一阶导数时，可以用y=1-x^2/2i+o(x^2)直接求导吗，如果可以，应该怎么求，谢谢

Answer 1

泰勒公式的作用之一就是近似计算，但是如果你把cosx近似取到x的二阶小量，那么求导以后的近似程度是一阶小的，即y'=-x+o(x)，而sinx=x+o(x)，所以在一阶小的近似下(cosx)'=-sinx

追问

请问您x的二阶小量和x的一阶小量是什么意思，还有就是cosx近似取到x的二阶小量求导的过程是什么，会不会很复杂，如果把cosx近似取到x的四阶小量，即y=1-x^2/2i+x^4/4i+o(x^4)，那么求一阶导数后是不是三阶小的，不知道我这么理解对不对，请您详细讲解一下，谢谢

追答

你说的没错啊，其实你把cosx的n阶泰勒展式写出来，然后对x求导，会发现它就是-sinx的泰勒展式。上面那个其实说求导之后是一阶小还是二阶小都无所谓，因为sinx的展开式中没有x^2的项，所以写成sinx=x+o(x^2)也没原则错误。