Question

已知函数f[x]=2-|x|.无穷数列{an}满足an 1=f[an],nN*

若a1＞0，且a1a2a3成等比数列，求a1的值
是否存在a1，使得a1a2a3a4。。an乘等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在说明理由。

Answer 1

解：（1）由题意，代入计算得a2=2，a3=0，a4=2；
（2）a2=2-|a1|=2-a1，a3=2-|a2|=2-|2-a1|，
①当0＜a1≤2时，a3=2-（2-a1）=a1，
所以a12＝(2−a1)2，得a1=1；
②当a1＞2时，a3=2-（a1-2）=4-a1，
所以a1(4−a1)＝(2−a1)2，得a1＝2−√2（舍去）或a1＝2+√2 ．
综合①②得a1=1或a1＝2+√2．
（3）假设这样的等差数列存在，那么a2=2-|a1|，
a3=2-|2-|a1||，由2a2=a1+a3得2-a1+|2-|a1||=2|a1|（*），
以下分情况讨论：
①当a1＞2时，由（*）得a1=0，与a1＞2矛盾；
②当0＜a1≤2时，由（*）得a1=1，从而an=1（n=1，2，…），
所以{an}是一个等差数列；
③当a1≤0时，则公差d=a2-a1=（a1+2）-a1=2＞0，
因此存在m≥2使得am=a1+2（m-1）＞2，
此时d=am+1-am=2-|am|-am＜0，矛盾．
综合①②③可知，当且仅当a1=1时，a1，a2，…，an，…成等差数列．
不懂可追问，有帮助请采纳，谢谢！

追问

我没问第一问啊。。

追答

哦