Question

猜数字的游戏~!

老师从1到80之间（大于1小于80）选了两个自然数，将二者之积告诉同学P(Product)，二者之和告诉同学S(Sum)，问两位同学能否推出这两个自然数？

S说：我知道你不知道这两个数。

P说：那么我知道了

S说：那么我也知道了啦！

其他同学：我们也知道啦！

…………

问：老师选出的两个自然数是什么？

Answer 1

答案如下~!
说话依次编号为S1，P1，S2。

设这两个数为x,y，和为s，积为p。

由S1，P不知道这两个数，所以s不可能是两个质数相加得来的，而且s＜＝41,因为如果s＞41，那么P拿到41×（s－41）必定可以猜出s了（关于这一点，参考老马的证明，这一点很巧妙，可以省不少事情）。所以和s为{11，17，23，27，29，35，37，41}之一，设这个集合为A。

1).假设和是11。

11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，如果P拿到18，18＝3×6＝2×9，只有2＋9落在集合A中，所以P可以说出P1，但是这时候S能不能说出S2呢？我们来看，如果P拿到24，24＝6×4＝3×8＝2×12，P同样可以说P1，因为至少有两种情况P都可以说出P1，所以A就无法断言S2，所以和不是11。

2).假设和是17。

17＝2＋15＝3＋14＝4＋13＝5＋12＝6＋11＝7＋10＝8＋9，

很明显，由于P拿到4×13可以断言P1，而其他情况，P都无法断言P1，所以和是17。

3).假设和是23。

23＝2＋21＝3＋20＝4＋19＝5＋18＝6＋17＝7＋16＝8＋15＝9＋14＝10＋13＝11＋12，

咱们先考虑含有2的n次幂或者含有大质数的那些组，如果P拿到4×19或7×16都可以断言P1，所以和不是23。

4).假设和是27。如果P拿到8×19或4×23都可以断言P1，所以和不是27。

5).假设和是29。如果P拿到13×16或7×22都可以断言P1，所以和不是29。

6).假设和是35。如果P拿到16×19或4×31都可以断言P1，所以和不是35。

7).假设和是37。如果P拿到8×29或11×26都可以断言P1，所以和不是37。

8).假设和是41。如果B拿到4×37或8×33，都可以断言P1，所以和不是41。

综上所述：这两个数是4和13。