Question

若x,y,z满足（z-x)^2-4(x-y)(y-z)=0,求证：x,y,z也成等差数列。

Answer 1

首先把式子全部展开，得到ZZ(即Z的平方，下同）-2XZ+XX-4XY+4YY+4XZ-4YZ=0,然后合并同类项，就变成了ZZ+2XZ+XX-4XY-4YZ+4YY=0,前面三项很明显是（Z+X)的平方，第四项和第五项提公因，最后得到式子（Z+X)的平方-4Y(X+Z)+4YY=0，很明显，这里又是一个完全平方，得到(Z+X-2Y)的平方=0，那么得到Z+X=2Y,即命题得证

Answer 2

（z-x）^2-4(x-y)(y-z)
=z^2-2zx+x^2-4xy+4y^2+4xz-4yz
=x^2+4y^2+z^2-4xy+2xz-4yz
=x^2+(-2y)^2+z^2+2x(-2y)+2xz+2(-2y)z
=(x-2y+z)^2=0

即x-2y+z=0