Question

在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,D是BC边上的中点,过D作BC的垂线,交∠BAC的平分线于点E.求证∶DE＝1/2BC

Answer 1

连结AD。
AD=(1/2)BC（直角三角形斜边中线长度等于斜边的一半），因此只需证明AD=DE,
即证明 ∠DAE =∠DEA（等腰三角形判定定理，等角对等边）。
过点A做BC垂线，交BC于点F（这样做是为了转移位置尴尬的∠DEA）。
于是DE//AF,内错角∠FAE =∠DEA。
问题转化为证明∠DAE = ∠FAE，条件给出AE是∠BAC的角平分线，也就是证明∠BAD = ∠CAF。
注意等腰三角形DAB的底角∠BAD = ∠ABD, 而∠ABD和∠CAF有相同的余角
所以∠BAD = ∠CAF。
证毕

结论：
此题综合考查平行线，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质。需熟练掌握这些基本的定理。

Answer 2

连AD，AE交BC于F；D是BC边上的中点,AD=DC,∠DAC=∠C,AD=1/2BCAE是∠BAC的角平分线，∠CAF=45∠DAE=∠DAC-∠CAF=∠C-∠CAF=∠C-45，∠E=90-∠DFE=90-∠AFC=90-(180-∠C-∠CAF)=∠C+∠CAF-90=∠C-45；∠DAE=∠E;AD=DE=1/2BC;DE＝1/2BC