Question

已知sinθ+cosθ=根号2/3(π/2<θ<π),求sinθ-cosθ及tanθ的值

要详细过程谢谢

Answer 1

解： sinθ+cosθ=√2/3
(sinθ+cosθ)^2=(√2/3)^2.
sin^2θ+2sinθcosθ+cos^2θ=2/9.
1+2sinθcosθ=2/9.
2sinθcosθ=2/9-1.
=-7/9.
(sinθ-cosθ)^2=(sinθ+cosθ)^2-4sinθcosθ.
=2/9-2*(-7/9).
=2/9+14/9.
=16/9.
sinθ-cosθ=±4/3 ∵π/2<θ<π, sinθ>0, cosθ<0. sinθ-cosθ>0.
∴sinθ-cosθ=4/3>1 【这是不可能的】
∵sinθ-cosθ=√2sin(θ-π/4)=4/3.
由此推出：sin(θ-π/4)=2√2/3>1.
正确的是 |sin(θ-π/4）|≤1.
故原题有误。

Answer 2

解：由sinθ+cosθ=根号2/3(π/2<θ<π)知，sinθ>0，cosθ<0。
对sinθ+cosθ=根号2/3两边平方得，(sinθ)^2+2sinθ*cosθ+(cosθ)^2=2/3。
由(sinθ)^2+(cosθ)^2=1得，2sinθ*cosθ=-1/3。
(sinθ-cosθ)^2=(sinθ)^2-2sinθ*cosθ+(cosθ)^2=1+1/3=4/3。
于是，sinθ-cosθ=根号4/3。
由sinθ+cosθ=根号2/3和sinθ-cosθ=根号4/3知，2sinθ=(根号2/3+根号4/3)，2cosθ=根号2/3-根号4/3，因此，tanθ=(根号2/3+根号4/3)/(根号2/3-根号4/3)=-(3+2*根号2)。
说明：化简时将分母乘以(根号2/3+根号4/3)即可。

Answer 3

不知道是根号2 /3还是根号(2/3),所以给你思路，自己算吧
(sin+cos)^2=sin^2+2sin*cos+cos^2=1+2sin*cos
解出2sin*cos
(sin-cos)^2=sin^2-2sin*cos+cos^2=1-2sin*cos
代入上面算得的值算出(sin-cos)^2
因为π/2<θ<π，所以sin>cos
所以(sin-cos)^2开根号，取正数即是sin-cos
(sin+cos)(sin-cos)=sin^2-cos^2=1-2cos^2
代入上面的值解出cos^2
tan^2=sin^2/cos^2=(1-cos^2)/cos^2
代入cos^2的值可得tan^2
因为π/2<θ<π，所以tan<0
tan^2开根号取负数即可