Question

如图,点P是等边三角形ABC内一点,且点P到三边的距离分别是1,2,3，求面积

最好用初二的知识解，谢了

Answer 1

1/2*a*(1+2+3)=6a/2=3a
无论在三角形内部的哪里，你连接三角形的各顶点可得到三个三角形，三个三角形的面积就1/2*a*1,1/2*a*2,1/2*a*3
加起来就是3a

Answer 2

解题：问题的难点在于确定出P点到各个边的距离和等于三角形任一边上的高。可以通过引辅助线、证明三角形全等得出。
三角形的高为6，则边长为4√3，则等边三角形面积为12√3。

追问

就是不知道如何添加辅助线，能否给个图

追答

耐心等等

Answer 3

等于正三角形边长3倍

追问

不对吧，正三角的面积是 （根号3）/4乘以边长的平方吧

追答

我说的是它的面积刚好等于这个正三角形边长的 3 倍。当然得先求出边长，经计算等于 4 倍的根号3。所以面积就等于12√3（平方单位）

一、这个正三角形可以这样作出：（如图二）

①作出角，使∠EOF=∠EOD=120°

②过O点在作出的三条射线上分别截取OD=1，OE=2，OF=3

③分别过D、E、F三点作OD、OE、OF的垂线，使它们相交得到BC、AB、AC

则三角形ABC就是符合条件的正三角形。

二、这三条垂线长的和刚好等于一边上的高

证明：（如图三）过O点作BC的平行线MN，则△AMN仍然是正三角形

在△AMN中，过N点作AM的垂线NG，过O点作OR⊥NG

则四边形OEGR是矩形（有三个直角的四边形是矩形）

∴GR=OE

在△ONF和△NOR中

∵∠ONF=∠AMN          ∠NOR=AMN（两直线平行，同位角相等）

∴∠ONF=∠NOR

又ON=ON（公共边）

∴△ONF≌△NOR

∴NR=OF

∴NG=NR＋GR

         =OF＋OE

 而AT=NG

∴AH=AT＋TH

         =NG＋TH

        =OF＋OE＋OD

所以：正三角形中内一点到各边的距离和等于一边上的高

三、计算其面积

∵S△ABC=1/2×BC×OD＋1/2×AB×OE＋1/2×AC×OF

而BC=AB=AC

∴S△ABC=1/2×BC (OD＋OE＋OF)

                  =1/2×BC (1＋2＋3)

                  =3×BC

即这个三角形的面积等于边长的确3倍

而正三角形的边和高的关系是：边长是高的2/3√3（三分之二的根号三）

∴S△ABC=3×BC

                  =3×2/3√3×6

                 =12√3

故所求的三角形的面积等于12根号3（平方单位）