Question

设x,y∈R,且3x²+2y²=6x,则x²+y²的取值范围是

Answer 1

3x²+2y²=6x,
3x²-6x +2y²=0,
3x²-6x+3 +2y²=3,
3(x²-2x+1) +2y²=3,
3(x-1)² +2y²=3,
(x-1)² +y²/(3/2)=1,
这是一个椭圆方程，0≤x²≤4, 0≤y²≤3/2
化为参数方程：x=1+cosθ,y=√(3/2)*sinθ
x²+y²=(1+cosθ)^2+3/2*( sinθ)^2
=1+2 cosθ+(cosθ)^2+3/2*( sinθ)^2
=1+2 cosθ+( cosθ)^2+3/2-3/2*(cosθ)^2
=5/2+2 cosθ-3/2*( cosθ)^2
令f= x²+y²=5/2+2 cosθ-3/2*( cosθ)^2,
求导并等于0，f’=-2sinθ+3* cosθ* sinθ=0
解得：sinθ=0，cosθ=2/3，
因为椭圆对称，把θ限定在0-π/2内时，即θ=0，θ=arcos(2/3)
求二次导数，f’’=-2cosθ-3*( sinθ)^2+3*(cosθ)^2=-2cosθ-6*( sinθ)^2+3
当θ=0时，f’’=-2+3=1>0,有最小值f=5/2+2-3/2=3
当θ=arcos(2/3)时，f’’=-2*2/3-6*（1-4/9）+3=-5/3<0,有最大值，f=5/2+4/3-3/2*4/9=19/6
所以，x²+y²的取值范围是[3,19/6]

Answer 2

3x²+2y²=6x
x²+y²=(-x²+6x)/2=-(x-3)²/2+9/2
∴0≤x²+y²≤9/2