Question

三重积分∫∫∫zdv,其中Ω是有曲面积分z=√(2-x²-y²)和z=x²+y²。

∫∫∫zdv,其中Ω是有曲面积分z=√(2-x²-y²)和z=x²+y²
我算出0<θ<2π, 0<ρ<1, 可是为什么z的范围是x²+y²<z<√(1-x²-y²)呢，而不是反过来？

Answer 1

因为抛物面z = x² + y²是开口向上的，最低点是(0，0，0)

而z = √(2 - x² - y²)是上半球体，顶点(0，0，√2)
所以√(2 - x² - y²) ≥ x² + y²
√(2 - r²) ≥ r² ==> 0 ≤ r ≤ 1

∫∫∫Ω z dV
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) r dr ∫(r²→√(2 - r²)) z dz
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用切片法也行：
z = √(2 - x² - y²) ==> Dz[2]面积：π(2 - z²)，1 ≤ z ≤ √2
z = x² + y² ==> Dz[1]面积：πz，0 ≤ z ≤ 1
∫∫∫Ω z dV
= ∫(0→1) z dz ∫∫Dz[1] dxdy + ∫(1→√2) z dz ∫∫Dz[2] dxdy
= ∫(0→1) z * πz dz + ∫(1→√2) z * π(2 - z²) dz

如果反过来的话，那可能是下半球体z = - √(2 - x² - y²)