Question

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PCD为正三角形，且与底面ABCD垂直，已知底面ABCD为菱形，角ADC=60°

M为PB中点，求证：（1）PA⊥CD；（2）面CDM⊥面PAB。

Answer 1

证明：
（1） 去CD中点E，连接PE,AE
因为△PCD是正三角形，所以PE⊥CD（1）
又因为四边形ABCD是菱形且∠ADC=60°
所以△ACD也是正三角形
所以AE⊥CD（2）
由（1）、（2）且 PE交AE=E得 CD⊥面PAE
又因为PA属于面PAE，所以CD⊥PA
（2）取PA中点F，连接DF,MF
因为在△PAB中 M,F分别为PB,PA中点
所以 MFllAB，所以MFllCD
所以MFll面CDM
又因为 M属于面CDM，所以MF属于面CDM，DF也属于面CDM
因为△PCD为正三角形且四边形ABCD为菱形，
所以PD=AD，所以△PAD为等腰三角形
又因为F为PA中点，所以△PAD中 DF⊥PA（3）
由CD⊥PA， DF⊥PA 且 CD交DF=D得PA⊥面CDM
又因为PA属于面PAB，所以面CDM⊥面PAB。

追问

“所以MF属于面CDM，DF也属于面CDM" 这步怎么来的

追答

MFll面CDM，而点M又在面CDM内，所以MF只能是属于面CDM

MF属于面CDM，所以点F属于面CDM
点D,F都属于面CDM，所以DF必属于面CDM