证明不等式|a+b|/1+|a+b|<=|a|+|b|/1+|a|+|b
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2013-08-16 · 知道合伙人教育行家
无脚鸟╰(⇀‸↼)╯
知道合伙人教育行家
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现在为上海海事大学学生，在学习上有一定的经验，擅长数学。
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证明：【法一】1、设 |a+b|≠0
则，|a|+|b|≥|a+b|≥0
所以，1/(|a|+|b|)≤1/|a+b|
所以，1/(|a|+|b|)+1≤1/|a+b| +1
所以，(1+|a|+|b|)/(|a|+|b|)≤(1+|a+b| )/|a+b|
所以，上式倒过来得：，(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)≥|a+b| /(1+|a+b|)
即：|a+b|/1+|a+b|<=|a|+|b|/1+|a|+|b|
2、若|a+b|=0，a、b互为相反数
|a|+|b|/1+|a|+|b| =2|a|/(1+2|a|)≥0 或|a|+|b|/1+|a|+|b| =2|b|/(1+2|b|)≥0
等式显然成立。
所以，不等式 |a+b|/1+|a+b|<=|a|+|b|/1+|a|+|b| 成立。
【法二】
解证：首先构造函数f(x)=x/(1+x) (x≠-1)
因为，f'(x)=1/(1+x)²>0
所以，函数f(x)=x/(1+x) 在其定义域x≠-1内为单调递增函数
所以设，x1=|a|+|b| , x2=|a+b|
因为，|a|+|b|≥|a+b|≥0 即，x1≥x2
所以，f(x1)≥f(x2)
即，x1/(1+x1)≥x2/(1+x2)
所以，(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)≥|a+b|/(1+|a+b|)
即：|a+b|/(1+|a+b|)≤(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)
引用：http://zhidao.baidu.com/question/246390491.html
则，|a|+|b|≥|a+b|≥0
所以，1/(|a|+|b|)≤1/|a+b|
所以，1/(|a|+|b|)+1≤1/|a+b| +1
所以，(1+|a|+|b|)/(|a|+|b|)≤(1+|a+b| )/|a+b|
所以，上式倒过来得：，(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)≥|a+b| /(1+|a+b|)
即：|a+b|/1+|a+b|<=|a|+|b|/1+|a|+|b|
2、若|a+b|=0，a、b互为相反数
|a|+|b|/1+|a|+|b| =2|a|/(1+2|a|)≥0 或|a|+|b|/1+|a|+|b| =2|b|/(1+2|b|)≥0
等式显然成立。
所以，不等式 |a+b|/1+|a+b|<=|a|+|b|/1+|a|+|b| 成立。
【法二】
解证：首先构造函数f(x)=x/(1+x) (x≠-1)
因为，f'(x)=1/(1+x)²>0
所以，函数f(x)=x/(1+x) 在其定义域x≠-1内为单调递增函数
所以设，x1=|a|+|b| , x2=|a+b|
因为，|a|+|b|≥|a+b|≥0 即，x1≥x2
所以，f(x1)≥f(x2)
即，x1/(1+x1)≥x2/(1+x2)
所以，(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)≥|a+b|/(1+|a+b|)
即：|a+b|/(1+|a+b|)≤(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)
引用：http://zhidao.baidu.com/question/246390491.html
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