Question

高一数学向量问题急解

1.已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若AP=AB+入AC（入属于R），则入为何值时，点P在第三象限？2.平面内给定三个向量，a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1)，（1）若（a+kc）//（2b-a），求实数k（2）设d=(x,y)满足（d-c）//a+b且丨d-c丨=1，求d3.已知a=（1，2），b=（-3，2），当k为何值时，k×a+b与a-3b平行，平行时它们是同向还是反向？4.已知a、b满足丨a+b丨=√3 丨a+b丨，丨a丨=丨b丨=1，求丨3a-2b丨5.已知三个向量a、b、c、两两所夹的角都为120°，丨a丨=1，丨b丨=2，丨c丨=3，求向量（a+b+c）×a与a的夹角

Answer 1

1. 设点P（x，y） 则向量AP=(x-2，y-3）AB=(3，1）AC=(5，7)
AB+入AC=(3+5入, 1+7入)
因为AP=AB+入AC
所以(x-2，y-3）=(3+5入, 1+7入) 及 x-2=3+5入 y-3=1+7入
整理得x=5+5入 y=4+7入
因为P在第三象限 所以x<0 y<0 及 5+5入<0 4+7入<0
解得入<-1
2 (1)a+kc=(3+4k, 2+k) 2b-a=(-5, 2)
因为（a+kc）//（2b-a） 所以2 X (4k+3)=-5 X (2+k) 解得 k=-16/13
(2)d-c=(x-4, y-1) a+b=(2,4)
因为（d-c）//a+b 所以（x-4）X 4=2 X（y-1） y=2x-7 所以d=(x,2x-7 ) d-c=(x-4, 2x-8)
又因为丨d-c丨=1 所以（x-4)^2=(2x-8)^2 解得x=4 d=(4,1)
3 k×a+b=(k-3,2k+2) a-3b=(10,-4)
因为k×a+b与a-3b平行 所以（k-3）x (-4）=（2k+2) x 10 解得k=-1/3
将k带入 k×a+b=（-10/3,4/3) 及a-3b= -1/3（k×a+b）为反向平行
4 丨a+b丨=√3 丨a+b丨两边都取平方 整理的a^2+2ab+b^2=0 及-2ab=a^2+b^2
丨3a-2b丨^2=9a^2-12ab+4b^2=15a^2+10b^2
因为丨a丨=丨b丨=1 所以丨3a-2b丨=5

Answer 2

(1)为了方便“入”用m表示。设P为(a,b),AB=(3,1) AC=(5,7)
则AP=(a-2,b-3)=AB+mAC=(3+5m,1+7m)
a-2=3+5m,得a=5+5m
b-3=1+7m,得b=4+7m
P(a,b)在第三象限，所以a<0,b<0
即：5+5m<0,4+7m<0
m<-1,m<-4/7
同小取小，所以m<-1
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(2)2b-a=(-5,2)
a+kc=(3,2)+(4k,k)=(4k+3,k+2)
a+kc∥2b-a
所以-5=m(4k+3),2=m(k+2)
即：mk=2-2m,4mk=-3m-5
得0=13-5m
m=13/5
所以k=-16/13
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(3)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4)
d-c∥a+b,所以(x-4)=2m,(y-1)=4m
得：(y-1)/(x-4)=2 （*）
因为|b-c|=1
即(x-4)^2+(y-1)^2=1
(x-4)^2+4(x-4)^2=1
(x-4)�0�5=1/5
x=±√5/5+4,然后代入（*）可得y,然后d(x,y)可得（注意：x,y的值要一一对应）
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（4）已知a=（1，2），b=（-3，2），当k为何值时，k×a+b与a-3b平行，平行时它们是同向还是反向？
解：a-3b=(10,-4)
令ka+b=m(a-3b)=(10m,-4m)
(k-3,2k+2)=(10m,-4m)
k-3=10m
2k+2=-4m
解得k=-1/3
m=-1/3
因为m是负的，所以反向
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（5）4.已知a、b满足|a+b|=√3 丨a+b丨，丨a丨=丨b丨=1，求丨3a-2b丨
这题有误
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（6）.已知三个向量a、b、c、两两所夹的角都为120°，丨a丨=1，丨b丨=2，丨c丨=3，求向量（a+b+c）×a与a的夹角
解：(a+b+c)×a=a�0�5+ab+ac=1-1/2-1/2=0,所以(a+b+c)⊥a夹角就是90

Answer 3

向量的运算 设a=(x,y),b=(x',y')。 　　 1、向量的加法
　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 　　AB+BC=AC。 　　a+b=(x+x',y+y')。 　　a+0=0+a=a。 　　向量加法的运算律: 　　交换律:a+b=b+a; 　　结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 　　 2、向量的减法
　　如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 　　AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减” 　　a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 　　 4、数乘向量
　　实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。 　　当λ>0时,λa与a同方向; 　　当λ<0时,λa与a反方向; 　　当λ=0时,λa=0,方向任意。 　　当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。 　　注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。 　　实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 　　当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 　　当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。 　　数与向量的乘法满足下面的运算律 　　结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。 　　向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa. 　　数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb. 　　数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。 　　 3、向量的的数量积
　　定义:两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π]。 　　定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b。若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣。 　　向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'。 　　向量的数量积的运算率 　　a·b=b·a(交换率); 　　(a+b)·c=a·c+b·c(分配率); 　　向量的数量积的性质 　　a·a=|a|的平方。 　　a⊥b 〈=〉a·b=0。 　　|a·b|≤|a|·|b|。 　　向量的数量积与实数运算的主要不同点 　　1、向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2。 　　2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c。 　　3、|a·b|≠|a|·|b| 　　4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。 　　 4、向量的向量积
　　定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。 　　向量的向量积性质: 　　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 　　a×a=0。 　　a∥b〈=〉a×b=0。 　　向量的向量积运算律 　　a×b=-b×a; 　　(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb); 　　(a+b)×c=a×c+b×c. 　　注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。 　　 向量的三角形不等式
　　1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣; 　　① 当且仅当a、b反向时,左边取等号; 　　② 当且仅当a、b同向时,右边取等号。 　　2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 　　① 当且仅当a、b同向时,左边取等号; 　　② 当且仅当a、b反向时,右边取等号。