Question

已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n属于N*都有

急

Answer 1

（1）
令m=2，n=1，得a3+a1=2a2+2，解得a3=6.
令m=3，n=1，得a5+a1=2a3+2×4，解得a5=20.
综上，a3=6，a5=20.

（2）
令m=n+2，得a（2n+3）+a（2n-1）=2a（2n+1）+8.
整理得a（2n+3）-a（2n+1）-（a（2n+1）-a（2n-1））=8.
即b（n+1）-bn=8，b1=a3-a1=6.
∴bn是首项b1=6，公差d=8的等差数列。
bn=b1+（n-1）d=8n-2.
综上，数列{bn}的通项公式为bn=8n-2.

（3）
a（2n-1）-a（2n-3）=8n-10
...............................................
a3-a1=6
a1=0
累加得a（2n-1）=2（2n-1）(n-1).
令m=n+1，得a（2n+1）+a（2n-1）=2a2n+2，从而a2n=2n（2n-1）。
∴当n=2k时，cn=1/a（n+1）=1/a（2k+1）=1/2n-1/（2n+1）。
当n=2k-1时，cn=1/a（n+1）=1/a2k=1/（2n-1）-1/2n。
∴当n=2k-1时，Sn=1-1/2+1/2-1/3+...+1/（2n-1）-1/2n=1-1/2n。
当n=2k时，Sn=1-1/2+1/2-1/3+...+1/2n-1/（2n+1）=1-1/（2n+1)。
易得Sn递增，则n→+∞时，Sn→1。
从而只需满足M＜1就存在一个n使M＜Sn。
综上，M＜1。