Question

关于矩阵特征值得问题，求大神指教！

n阶矩阵，An=（aij）

{ a (i=j)
aij={ -1 (|i-j|=1)
{ 0 (其他)

求①A4的特征值
②求出当An的特征值为a的时候所有n的值

关于对称阵求特征值有什么特殊求法吗？

求各路大神大侠指点一下！

万分感谢！

小弟窘迫就剩这区区5分了，还请笑纳。。。

Answer 1

这类特殊的矩阵特征值有特殊的求法, 但不要指望一般的实对称三对角矩阵都能求.

显然a对结果的影响不大, 因为A(a)=A(b)+(a-b)*I, 所以只要把某个具体的a(比如a=0)的情况分析清楚就行了.
简单一点就考虑a=0. 假定λ是A(0)的特征值, x=[x_1,...,x_n]^T是相应的特征向量.
那么
λx_1+x_2=0
x_1+λx_2+x_3=0
...
x_{n-2}+λx_{n-1}+x_n=0
x_{n-1}+λx_n=0
补充定义一下x_0=x_{n+1}=0, 那么上面这些式子可以统一成递推关系
x_{k-1}+λx_k+x_{k+1}=0
然后用求线性递归数列通项的特征值法可以求出
x_k = p*μ^k + q*ν^k
其中μ和ν是方程t^2+λt+1=0的两根
由Gerschgorin圆盘定理可知|λ|<2, 所以μ和ν是一对共轭虚根, 可以表示成μ=exp(i*θ), ν=exp(-i*θ), 这样
x_k = p*exp(ikθ) + q*exp(-ikθ)
代边界条件x_0=x_{n+1}=0可以解出p=-q≠0, exp[2i(n+1)θ]=1
所以θ=mπ/(n+1), m可取1,...,n
此时λ=-(μ+ν)=-2cosθ=-2cos[mπ/(n+1)]
到这里所有的特征值和特征向量都求出来了.