Question

f(x)=|x+1|-|x-1|,则使f(2x+1)=f(x+2)成立的

f(x)=|x+1|-|x-1|,则使f(2x+1)=f(x+2)成立的x的取值范围是多少。
答案已知：(负无穷，-3]∪[0,正无穷），求详细过程

Answer 1

根据x的不同取值范围，脱去绝对值符号
于是函数f(x)可以表达成以下分段函数
f(x)=-2（x≤-1)
f(x)=2x（-1<x≤1)
f(x)=2（x>1）
显然f(x)的图象是关于原点对称的三段折线

要使f(2x+1)=f(x+2)
即要求两个函数f(2x+1)、f(x+2)图象交点的集合
本题关键是如何由f(x)的图象得到以上两个函数的图象

由f(x)图象向左平移两个单位容易得到f(x+2)的图象
而因f(2x+1)=f[2(x+1/2)]
表明由f(x)图象纵向不变、横向压缩到原来的1/2倍，然后再向左平移1/2个单位就能得到f(2x+1)图象

经过以上图象变换，观察两个函数f(2x+1)、f(x+2)图象的公共部分即可得到使f(2x+1)=f(x+2)成立的x的取值范围是x≤-3或x≥0