Question

求解一道03年上海交大自招题，希望过程详细些

Answer 1

你可以考虑用数学归纳法。
1、n=6时，显然成立。
2、假设n=k时，成立，求证n=(k+1)时成立。
只要你证明2，就能证明这道命题。

(k/2)^k > k! > (k/3)^k
(k+1)!=k!(k+1)
(k/2)^k * (k+1) > (k+1)! > (k/3)^k*(k+1)
因此，需要证明：
[(k+1)/2]^(k+1)>(k/2)^k * (k+1)
[(k+1)/3]^(k+1)<(k/3)^k * (k+1)

整理得到，需要证明

2<(1+1/k)^k<3 对于k》6恒成立

先证明(1+1/k)^k是一个递增函数
然后k=6时，它大约是2.5，成立
k=∞时，它的值是e，这个在极限里有学。
2<e<3也成立
所以，2<(1+1/k)^k<3 对于k》6成立

所以[(k+1)/2]^(k+1)>(k+1)!>[(k+1)/3]^(k+1)得证
所以，原命题得证