Question

用配方法求代数式最大值 最小值的方法

遇到好多题都是这种类型，却不懂方法，故向大家求助！！

Answer 1

配方法的应用配方法的地位：判断一个式子的值的正负是比较大小、判断一元二次方程根的情况等很多数学问题常要用到的，基本途径是①因式分解，②配方，特别是配方法在初中数学中涉及二次的问题时应用非常广泛。除了判断正负，配方法还解决了最值、不大于（或不小于）一个常数等等问题。因此学会配方法及有意识地应用配方法将式子变形，从而解决问题在初中阶段非常重要。教学目标：1. 理解用配方法变形成a(x+m)2+n的式子可以求其取值范围、判断其符号进而得到其最值；2. 配方法解决问题的多样性，开拓了学生的视野，打开了一个神奇的数学之窗。教学重点： 解决判断式子符号、求最值等问题。教学难点：1.理解如何判断型如a(x+m)2+n的式子的取值范围； 2.理解可以用判断型如a(x+m)2+n的式子的取值范围来解决不同的问题。 教学过程：一、复习引入：（设计意图：复习配方法，比较解方程时配方和代数式的配方的异同点，学生易犯的错误是代数式的配方中将二次项系数象解方程那样除掉）1. 用配方法解方程：2x2-4x+16=02. 将2x2-4x+16配方得 二、典型例题：（设计意图：使学生理解并掌握配方后判断符号的方法）例1. 不论x取任何实数，证明：代数式x2-4x+13的值恒大于零。学生易想到x2-4x+13=x2-4x+4+9 =（x-2)^2+9 ———学生上手很快，但很多并未意识到这就是在应用配方法强调为什么（x-2)^2+9恒大于零，格式： ∵（x-2)^2≥0 ———非负数的性质 ∴（x-2)^2+9≥9 ———得到取值范围 ∴（x-2)^2+9>0 ———判断正负 即x2-4x+13的值恒大于0归纳总结：配方后，可以判断a(x+m)2+n的值的范围，从而进一步判断值的正负。 例2. 设M=x2-8x+22，N= -x2+6x-3，比较M与N的大小关系。方法一（比差法）：M-N=( x2-8x+22)-( -x2+6x-3)=2x2 -14x+25 ———判断正负的途径：因式分解或配方=2（x-7/2)^2+1/4 ———配方同例1一样分析，得M-N>0，———得到取值范围，判断正负从而M>N.方法二：∵M=x2-8x+22=（x-4）2+6 N= -x2+6x-3= -（x-3）2+6 ———配方同例1一样分析，得M，N的取值范围：M≥6,N≤6———判断取值范围但当x=4时M=6;x=3时，N=6,因此，不可能同时M=N ∴M>N例3. 关于x的一元二次方程x2-(k+2)x+2k-1=0，试证明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根。 三、变式训练：（设计意图：举一反三）1. 求证：方程（m2+1）x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根，2. 若t是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则判别式⊿=b2-4ac和完全平方式M=(2at+b)2的关系是（ ）（A）⊿=M (B)⊿>M (C)⊿ (D)大小关系不确定3.证明：3x2 -2x+4的值不小于11/3。———分析例1中得到的取值范围（x-2）2+9≥9 帮组学生理解此题，并为拓展做准备四、拓展提高：（设计意图：学生还没有学二次函数，因此求最值应该是难点，理解取值范围所表达的意义，也为二次函数的学习做准备）1. 已知x为实数。求y= x2-6x+15的最小值。2. 已知x为实数，x= 时，y= -x2-4x+10有最大值。3. 用24米长的篱笆材料，一边利用墙，墙的最大可利用长度为12米，围成一个中间有隔断（隔断垂直于墙）的矩形仓库，假设矩形垂直于墙的一边为x米，（1） 用含x的代数式表示矩形的面积；（2） 什么时候矩形的面积等于45平方米？（3） 你能用非负数的性质和配方法确定什么时候矩形有最大面积吗？五、课堂总结：用配方法将一个二次三项式写成型如a(x+m)2+n的式子，可以用非负数的性质得到取值范围a(x+m)2+n≥n,a>0(或a(x+m)2+n≤n,a<0)，从而可判断符号，解决最值等问题。六、作业： 虽然刚学配方法，但涉及到的数学问题已成系列。牢牢抓住“配方”和用非负数得到的“取值范围”这两个点去分析典型例题，先重点突破判断符号问题，在变式训练中又加入第3题，进一步分析用非负数得到的“取值范围”的意义，再进一步思考拓展最小值与“取值范围”的关系，达到一题多练的效果。

Answer 2

先用配方法配成公式（完全平方公式或完全平方差公式），然后平方里面的数为0，就可知道最大值或最小值了

Answer 3

配出完全平方公式｛（a±b)的平方＋M}后,M就是要求的最直，