Question

已知a、b是实数,函数f(x)=x^2+bx+c对任意α、β∈R有

已知a、b是实数,函数f(x)=x^2+bx+c对任意α、β∈R有: <1>f(sinα)≥0 <2>f(2+cosβ)≤0
(1)求f(1)的值
(2)证明:c≥3
(3)设f(sinα)的最大值是10,求f(x)
请求详细过程

Answer 1

f(x)=x^2+bx+c
对任意α、β∈R有:
<1>f(sinα)≥0
<2>f(2+cosβ)≤0
α=90,f(1)>=0
β=180,f(1)<=0
f(1)=0
b+c=-1
f(x)=x^2-(1+c)x+c=(x-1)(x-c)
f(2+cosβ)≤0
β=0
f(3)<=0
f(3)=(3-1)(3-c)<=0
c≥3

f(sinα)的最大值是10
-1<=sinα<=1
f(x)=x^2-(1+c)x+c=(x-1)(x-c)
c>=3
f(x)max=f(-1)=2(c+1)=10
c=4
f(x)=x^2-5x+4

Answer 2

(1)-1≤sinα≤1,即f(x)在[-1,1]上大于0
1≤2+cosβ≤3,即f(x)在[1,3]上小于0
f(x)开口向上,则f(x)=0有一个根为x=1,f(1)=0
且对称轴大于等于2
(2)设f(x)的两根式为f(x)=(x+p)(x-1)
展开得f(x)=x²+(p-1)x-p
配方得f(x)=[x+(p-1)/2]²-p-(p-1)²/4
对称轴-(p-1)/2≥2得p≤3
对照原解析式有c=-p
则c≥3
(3)f(sinα)的最大值是10
-1<=sinα<=1 f(1)=0知b=-1-c
所以f(x)=x^2-(1+c)x+c=(x-1)(x-c)
f(x)max=f(-1)=2(c+1)=10 c=4
f(x)=x^2-5x+4

Answer 3

(1)设sina=1得f(1)=b+c+1≥0
在令sinB=-1得f(1)=b+c+1≤0
棕上得f(1)=0.
(2)令cosB=1,2+cosB=3.则f(3)=9+3b+c≤0
又b+c=-1得b=-c-1代入得:c≥3