Question

关于等差数列前N项和的性质的疑惑

（1）等差数列an依次每K项之和仍成等差数列，其公差为原公差的K平方倍。（2）若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋a(n＋1))（其中an，a(n＋1)为中间两项）且S偶－S奇＝nd，S奇比S偶＝an比a(n＋1)（3），数列Sn比n是等差数列，公差为二分之d。（4），数列Sn，S（2n）－Sn，S（3n）－S（2n）也成等差数列。
麻烦各位了，能帮我把过程写写吗？

Answer 1

(1),每k项： am+ a(m+1) + ……+a(m-1+k)
a(m+k)+ a(m+1+k)+ ……+a(m-1+2k)
第二行的每项都比第一行多a(m+k)-am=a(m+1+k)-a(m+1)= ……=a(m-1+2k)-a(m-1+k)=k*k=K平方倍
(2)求和公式，S2n=1/2 *2n(an＋a(n＋1))=n(an＋a(n＋1))
S偶-S奇
=(a2+a4+a6+……+a2n)-(a1+a3+a5+……+a2n-1)
=(a2-a1)+(a4-a3)+……+（a2n-a2n-1)
=nd
偶数项成等差数列
S偶=a2+a4+a6+……+a2n=1/2 *n(a2+a2n)=na(n+1)
S奇=a1+a3+a5+……+a2n-1=1/2 *n(a1+a2n-1)=nan
S奇比S偶＝an比a(n＋1)
(3)有公式Sn=na1+n(n-1)d/2
Sn/n=a1+(n-1)d/2
=n*d/2+a1-d/2
成等差数列，公差d/2
(4)Sn =a1+ a2 +……+ an
S2n-Sn=a(n+1)+ a(n+2)+……+ a2n
S3n-S2n=a(2n+1)+a(2n+2)+…… +a3n
每一行的对应项都比上一行多nd
所以(S2n-Sn)-Sn=(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=n^2 *d
成等差数列。